在什(shén)麽情況下(xià)，因子(zǐ≤®) Span SDF (I)

發布時(shí)間(jiān)：2023-05-12 | ↕≤ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：由于個(gè)股協方差矩陣很(hěn)難求逆，因此使用(yòng)因子(z≈♦ǐ)是(shì)必然的(de)選擇。然而，在什(shén)麽情況≠≤下(xià)，因子(zǐ)能(néng) span®>‌ SDF，從(cóng)而不(bù)會(huì)損失投資機(jī)會(h&≤≈$uì)？

令 $N$ 代表股票(piào)數(shù)量， $J$ 代表公司特征（firm characteristics）數(ε↔≠shù)量，令 $N\times J$ 維矩陣 $\pmb{X}_t$ 表示 $t$ 時(shí)刻的(de)所有(yǒu)股票(piào)的(de)全部特α≈ 征（其中第一(yī)列是(shì) a vector of ‍×βones）。此外(wài)，令 $\pmb{z}_{t+1}$ 代表 $N$ 個(gè)股票(piào) $t+1$ 時(shí)刻的(de)超額收益率向量。定義如(rú)下(xi€βà)條件(jiàn)預期收益率和(hé)條件(jiàn)協方差矩陣$λ：

$\pmb{\mu}_t=\mathbb{E}[\pmb{z}_{t+1}|\pmb{X}_t]$

$\pmb{\Sigma}_t=\mbox{var}(\pmb{z}_{t+1}|\pmb{X}_t)$

如(rú)果已知(zhī) $\pmb{\mu}_t$ 和(hé) $\pmb{\Sigma}_t$ ，則由這(zhè) $N$ 個(gè)資産構造的(de) mean-variance efficienΩ₩♦t portfolio 的(de)權重為(wè♥‌∏i) $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 。根據資産定價理(lǐ)論，該投資組合與 SDF ≠® Ω以及 factor model 等價，即該投資組合作∏↕♣©(zuò)為(wèi)因子(zǐ)可(kě)以給所有(y ↓π'ǒu)股票(piào)定價。

To see why：

由權重和(hé)個(gè)股收益率可(kě)知(zhī)，∞←♥該組合的(de)超額收益率為(wèi) $z_{t+1}^{mv}=\pmb{w}_t^ \prime\pmb{z}_{t+1}$ 。令 $\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]和\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})$ 表示該投資組合的(de)條件(jiàn)預期收益率和(hε$✘γé)方差。根據定義并帶入 $\pmb{w}_t$ 可(kě)得(de)：

$\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]=\pmb{w}_t^\prime\pmb{\mu}_t=\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$

$\begin{array}{rll} \mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})&=&\displaystyle\pmb{w}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\Sigma}_t\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\mu}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t \end{array}$

從(cóng)上(shàng)述推導可(kě)知®☆✘≥(zhī)，對(duì) mean-variance ef♣¥ficient portfolio 來(lái)說(shε≈↔uō)， $\mathbb{E}_t[\pmb{z}_{t+1}^{mv}]$ 和(hé) $\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})$ 的(de)取值是(shì)一(yī)樣的(de)。接下(xià)來(lái)，由 $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 可(kě)知(zhī) $\pmb{\mu}_t=\pmb{\Sigma}_t \pmb{w}_t$ 。從(cóng)這(zhè)個(gè)關系出§επ→發做(zuò)如(rú)下(xià)推導：

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_t&=&\displaystyle\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\\ &=&\displaystyle\pmb{\Sigma}_t\pmb{w}_t\frac{\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \mbox{cov}_t(z_{t+1}^1, z_{t+1}^{mv})\\ \vdots\\ \mbox{cov}_t(z_{t+1}^N, z_{t+1}^{mv}) \end{array} \right] \frac{\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]}{\text{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{\mbox{cov}_t(z_{t+1}^1, z_{t+1}^{mv})}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})}\\ \vdots\\ \displaystyle\frac{\mbox{cov}_t(z_{t+1}^N, z_{t+1}^{mv})}{\mbox{var}_t(z_{t+1}^{mv})} \end{array} \right]\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]\\\\ &=&\displaystyle\left[ \begin{array}{c} \beta_t^1\\ \vdots\\ \beta_t^N \end{array} \right]\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}] \end{array}$

即 $\pmb{\mu}_t=\pmb{\beta}_t\mathbb{E}_t[z_{t+1}^{mv}]$ 。不(bù)幸的(de)是(shì)，我們很(hěn)難根據個(gα∞è)股的(de)收益率計(jì)算(suàn)出想要(yào)的(☆♥®de)權重 $\pmb{w}_t=\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{\mu}_t$ 。先不(bù)說(shuō)事(shì)前估計(jì)問(wèn)題，即便是∞↓↑<(shì)對(duì)協方差矩陣 $\pmb{\Sigma}_t$ 求逆就(jiù)讓我們望而卻步。所以，使用(yòng)個(gè)股來(lái©✘"≥)構造 mean-variance efficient portf£¥γolio 或者 SDF 是(shì)不(bù)現(x‍£iàn)實的(de)。因此，人(rén)們轉而使用(yòng)多(§αduō)因子(zǐ)模型。

一(yī)個(gè)因子(zǐ)可(kě)☆§<™以看(kàn)做(zuò) $N$ 個(gè)資産的(de)線性組合。假設共有(yǒu) $J$ 個(gè)因子(zǐ)，它們的(de)投資組合δ ↔權重由 $N\times J$ 維權重矩陣 $\pmb{W}_t$ 表示，即因子(zǐ)收益率滿足 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 。因子(zǐ)的(de)條件(jiàn)預期收益率和(hé)><$'協方差矩陣則為(wèi) $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t$ 和(hé) $\pmb{\Sigma}_{f,t}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t\pmb{W}_t$ 。

當使用(yòng)因子(zǐ)取代個(gè‌×¥)股進行(xíng)投資時(shí)，人(rén)們關心的α✔(de)是(shì)所構造的(de)所有(yǒu)因子(zǐ)能(néng)♣★≤否捕捉和(hé)使用(yòng)個(gè)股一(yī)樣的(δ§ de)投資機(jī)會(huì)。換句話(huà)說(shuō←¶✘©)，即這(zhè) $J$ 個(gè)因子(zǐ)能(néng)否 span SDF✘ε♦，又(yòu)或者，通(tōng)過這(zhè)些(xiē)¶♣因子(zǐ)實現(xiàn)的(de)最大(dà)夏普比率平•✔>方和(hé)通(tōng)過個(gè)股實現(xiàn)λ‌₽的(de)最大(dà)夏普比率平方是(sh¶≤÷∑ì)否相(xiàng)等？在實證研究和(hé)投資實踐中，因子(zǐ)投資組合權重 $\pmb{W}_t$ 的(de)确定方式千差萬别 —— 比如(××rú) Fama and French (1993) 使用(yòng)根據公司特征進行(xíng) portfoli↓πo sort（并一(yī)舉成為(wèi)π↔δ∞研究範式），又(yòu)比如(rú) Fama and French (2020) 轉而使用(yòng) OLS（和(hé) Barra 類似）•§，再比如(rú)最近(jìn)幾年(nián)一(yī)Ω÷<"些(xiē)結合機(jī)器(qì)學習(xí)算(₽ suàn)法的(de)最新文(wén)章 ®≈(zhāng)直接使用(yòng)經标準化σ(huà)後的(de)公司特征本身(sh↕α₹←ēn)作(zuò)為(wèi)權重 —— 因此，回答(d←≥∞♦á)上(shàng)述問(wèn)題就(jiù)顯得(de)至關重☆↑↑∏要(yào)。

從(cóng)本文(wén)第一(yī)節的(de)↕≤₹論述可(kě)知(zhī)，最大(dà)夏普比率平方（或 SDF）和(hé ±↓")個(gè)股的(de)協方差矩陣密切相(xiàng)關（這(zhè)是(sγ&§¥hì)因個(gè)股的(de)協方差矩陣是(shì)計(jì)算(s≠✔uàn) $\pmb{w}_t$ 的(de)輸入之一(yī)）。然而，無論是←✔ ¥(shì) portfolio sort、OLS 還(hái)是(sh≠Ωì)直接使用(yòng) $\pmb{X}_t$ ，這(zhè)些(xiē)構造因子(zǐ)的(dα¥‍e)方法均未直接考慮個(gè)股的(de)協方差矩≠₹♥陣。因此，我們有(yǒu)足夠的(de)理(lǐ)由懷疑，雖然Ω ↕使用(yòng)因子(zǐ)繞過了(le)對(duì) $\pmb{\Sigma}_t$ 求逆這(zhè)個(gè)mission impossibl≥®'βe，但(dàn)是(shì)代價也(yě)許是(shì)★≤↔≥喪失和(hé)很(hěn)多(duō)投資機(jī)會(• huì)（最大(dà)夏普比率平方）。那(nà)麽，是(‌πshì)否在一(yī)定的(de)條件(j‌♦≠iàn)下(xià)，這(zhè)種損失是(shì)有(yǒu)¶♥<♣限的(de)甚至是(shì)忽略不(bù)計(jì)的(de)呢(β∏ne)？即構造的(de)因子(zǐ)能(néng)夠 δ‌捕捉和(hé)使用(yòng)個(gè)股一(yī)樣λ§♣的(de)投資機(jī)會(huì)。

Kozak and Nagel (2022) 就(jiù)這(zhè)個£ (gè)問(wèn)題從(cóng)三方面展開(kāi)了₩φ≤×(le)精彩的(de)論述：

1. 在什(shén)麽情況下(xià)，不'≥π(bù)同權重方法構造的(de)因子(zǐ)能(néng)夠 span SDαΩ‍F；

2. 如(rú)果 1 中的(de)條件(jiàn)無法滿足，< ≈♦則應該如(rú)何解決；

3. 如(rú)何進一(yī)步降維（即最近(jìn)幾年(niá§<≤n)很(hěn)火(huǒ)的(de) PCA、IPCA、PPCA 方法πδ∞♥有(yǒu)效的(de)先決條件(jiàn)）。

由于該文(wén)的(de)內(nèi)容非常豐富，§©因此我打算(suàn)将其拆成多(duō)個(gè↕ε∞)部分(fēn)。本文(wén)是(shì)系列第一(y×©ī)篇，主要(yào)關注第一(yī)個(gè)問(wèn)題。

任何討(tǎo)論都(dōu)是(shì)從(cóng)假設 ‍≈開(kāi)始。Kozak and Nagel (20σλ©22) 最基本的(de)假設是(shì)個‍γ(gè)股條件(jiàn)預期收益率 $\pmb{\mu}_t$ 是(shì)公司特征 $\pmb{X}_t$ 的(de)線性函數(shù)，即 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ ，其中 $\pmb{\Phi}$ 是(shì) $J$ 維向量。在這(zhè)個(gè)假設下(xià)，對(dεδ∏uì)于任意給定的(de) $J$ 維可(kě)逆矩陣 $\pmb{S}_t$ ，以權重 $\pmb{W}_t=\pmb{S}_t^\prime \pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 構造的(de)因子(zǐ)，即 $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{S}_t^\prime \pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ 能(néng)夠不(bù)損失投資機(jī)會(hu☆Ω£‍ì)（即 span SDF）。這(zhè)個(gè)‍≠✔結論是(shì) Kozak and Nagel (2022) 的(de) £&•Proposition 1。

舉個(gè)例子(zǐ)，取 $\pmb{S}_t=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}$ 。将其代入因子(zǐ)收益率表達式可( £βkě)知(zhī) $\pmb{f}_{t+1}=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ 。不(bù)難看(kàn)出，該因子(zǐ)收益率實際就(jiù"β)是(shì)用(yòng)個(gè)股收益率對(duì↔•≤∞)公司特征做(zuò) GLS 回歸得(de)到(dào¶ ★)的(de)回歸系數(shù)。因此，上(shàng)述 →↓ α $\pmb{S}_t$ 下(xià)，我們得(de)到(dào)'δ∏>了(le) GLS 因子(zǐ)，使用(yòng)它們代€&替個(gè)股投資可(kě)以得(de)到(dào)相(xiàng)同的(de₽•§ )最大(dà)夏普比率平方。此外(wài)，在該構造方法下(x∏πià)，因子(zǐ)的(de)預期收益率 $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ ，而個(gè)股對(duì)因子(zǐ)的(de) ☆→<$ $\pmb{\beta}_t$ 恰好(hǎo)就(jiù)是(shì)公司特征 $\pmb{X}_t$ 。

這(zhè)是(shì)因為(wèi)，在該 $\pmb{S}_t$ 下(xià)， $\pmb{W}_t^\prime=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 。因此（注意由模型假設有(yǒu) $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}）$ ，

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_{f,t}&=&\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t\pmb{\Phi}\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)^{-1}(\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{X}_t)\pmb{\Phi}\\ &=&\pmb{\Phi} \end{array}$

将 $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ 代入 $\pmb{\mu}_{t}=\pmb{\beta}_t\pmb{\mu}_{f,t}$ 有(yǒu) $\pmb{\mu}_{t}=\pmb{\beta}_t\pmb{\Phi}$ ，再聯立 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ ，有(yǒu) $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t$ 。這(zhè)個(gè)關系的(de)大(dà)白(bái)話(♦ huà)意思是(shì)，無論你(nǐ)使用(yòng)公司₽δ>特征當做(zuò) $\beta$ ，還(hái)是(shì)先用(yòng)公司≈'特征（通(tōng)過 GLS）構造因子(zǐ)再通(t↕♥¶§ōng)過個(gè)股和(hé)因子(zǐ)協方差計(jì)算♠→÷₹(suàn) $\beta$ ，二者是(shì)完全等價的(de)。所以，在這(zhè)∞β 個(gè)特殊的(de) case 下(xià)，which beta 之争根本就(jiù)不(bù)存在。再舉個(gè)更簡單的(de)例子(zǐ)，令 $\pmb{S}_t$ 為(wèi) $J$ 維單位矩陣 $\pmb{I}_J$ 。在這(zhè)種情況下(xià)，因子(zǐ) 收益率為(wèi) $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{X}_t^\prime\pmb{\Sigma}_t^{-1}\pmb{z}_{t+1}$ ，且可(kě)以推導出個(gè)股和(hé)因子(™→>σzǐ)收益率的(de)協方差 $\pmb{\Sigma}_{zf,t}=\pmb{X}_t$ 。上(shàng)述兩個(gè)例子(zǐ)雖然給出了(le)不(bù)損‍☆$£失投資機(jī)會(huì)的(de)因子(zǐ)構造方式，但(dà§★n)是(shì)細心地(dì)小(xiǎo)夥"&≠伴一(yī)定注意到(dào)了(le)，在構造✔‍因子(zǐ)時(shí)依然用(yòng)到(dào)了(↔☆‌÷le)個(gè)股協方差矩陣的(de)逆矩陣 $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ ，所以我們并沒有(yǒu)繞過這(zhè)個(g↔÷εè)問(wèn)題。因此，前面說(shuō)的(de)這(zhè₽λ)些(xiē)僅是(shì)熱(rè)身 ¥(shēn)。下(xià)面就(jiù)來(lái)看(k¥$àn)看(kàn)不(bù)使用(yòng)↔$‍★ $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ 的(de)情況。

在實際中，我們通(tōng)過公司特征 $\pmb{X}_t$ 構造因子(zǐ)時(shí)，往往采用(yòng)

$\pmb{W}_t=\pmb{X}_t\pmb{S}_t$

$\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$

例如(rú)，當 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ 時(shí)，相(xiàng)當于用(yòng)（經過标準化(huà)之後×©'<的(de)）公司特征直接作(zuò)為(wèi)權重（見(jiàn) Ko×₩✔zak, Nagel, and Santosh 2020）；又(yòu↕ §)或者當 $\pmb{S}_t=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 時(shí)，相(xiàng)當于使用(yòng) OLS 求解個(gè)∞€股收益率對(duì)公司特征回歸（見(jiàn) Fama anα∞d French 2020）。由于在這(zhè)些(xiē)選擇中不(bù)涉¥ ‌及 $\pmb{\Sigma}_t^{-1}$ ，因此上(shàng)述 Propositi✘<on 1 并不(bù)成立。針對(duì)這(zhè)些(xi×ē)情況，Kozak and Nagel (20Ωα✘✔22) 提出了(le) Proposition 2。

在 $\pmb{\mu}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Phi}$ 假設下(xià)，令 $\pmb{W}_t=\pmb{X}_t\pmb{S}_t$ ，其中 $\pmb{S}_t$ 是(shì)某個(gè)可(kě)逆 $J$ 維矩陣，那(nà)麽利用(yòng)因子(zǐ) $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{W}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 取代個(gè)股時(shí)，不(bù)損失投資機(jφ‍ī)會(huì)（即因子(zǐ) span SDF）的(de)充要(y∞©∏∞ào)條件(jiàn)是(shì)個(gè)股的(•↕de)協方差矩陣滿足如(rú)下(xià)分(fēπ ←n)解：

$\pmb{\Sigma}_t=\pmb{X}_t\pmb{\Psi}_t\pmb{X}_t^\prime+\pmb{U}_t\pmb{\Omega}_t\pmb{U}_t^\prime$

其中 $\pmb{\Psi}_t$ 、 $\pmb{\Omega}_t$ 以及 $\pmb{U}_t$ 是(shì)滿足相(xiàng)應維數(shù)要(yà≠π↔o)求的(de)矩陣，且 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 。在實踐中，為(wèi)了(le)盡可(kě)能(néng)滿γ→δ‍足 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ ，一(yī)個(gè)可(kě)行(xíng)的(de)做(π→zuò)法是(shì)讓 $\pmb{X}_t$ 包含更多(duō)的(de)公司特征：哪怕一(yī)些(xiē)特征無法←β≥ 解釋預期收益率的(de)截面差異，而是(shì)隻能(néngε≤β)解釋個(gè)股的(de)協方差，隻要(Ω★£≥yào)它們有(yǒu)助于實現(xiàn) $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ ，那(nà)麽就(jiù)應該被包含在 $\pmb{X}_t$ 中，并用(yòng)來(lái)構造因子(zǐ)投資組合并确保投資機(jδ★₹₽ī)會(huì)。

我們下(xià)面來(lái)看(kàn)看(kàn)，在 Proposit☆ ion 2 下(xià)， $\pmb{S}_t$ 取 $(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ （即 OLS）或者 $\pmb{I}_J$ （即直接使用(yòng)公司特征）時(shí)，構造的(↑✔>♠de)因子(zǐ)有(yǒu)哪些(xiē)特點。當 $\pmb{S}_t= (\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 時(shí)， $\pmb{f}_{t+1}=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ 。此時(shí)， $\pmb{W}_t^\prime=(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime$ ，因此有(yǒu)

$\begin{array}{rll} \pmb{\mu}_{f,t}&=&\pmb{W}_t^\prime\pmb{\mu}_t\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t\pmb{\Phi}\\ &=&(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)\pmb{\Phi}\\ &=&\pmb{\Phi} \end{array}$

因此，和(hé)前述 GLS 情況類似， $\pmb{\mu}_{f,t}=\pmb{\Phi}$ 且 $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t$ 。當 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ ，即 $\pmb{W_t}=\pmb{X}_t$ 時(shí)， $\pmb{f}_{t+1}=\pmb{X}_t^\prime\pmb{z}_{t+1}$ ，此外(wài)，可(kě)推導出 $\pmb{\beta}_t=\pmb{X}_t(\pmb{X}_t^\prime\pmb{X}_t)^{-1}$ 。

利用(yòng) $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ （這(zhè)是(shì)業(yè)界非常流行(xíng)的(de®ε )使用(yòng)方式），我們再對(duì) $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 這(zhè)一(yī)約束條件(jiàn)做(zuò)一(yī)個(gè)直∑×觀地(dì)解釋。為(wèi)了(le)使多(duō)因子(z☆ ±ǐ)模型能(néng)夠 span SDF（≈≠或者給所有(yǒu)個(gè)股準确定價），個(gè)λ☆↕股和(hé)因子(zǐ)之間(jiān)的(de) $\beta$ 應能(néng)夠解釋預期收益率的(de)所有φ<↓✔(yǒu)變化(huà)（即 $\beta$ span 預期收益率）。在 $\pmb{S}_t=\pmb{I}_J$ 時(shí)， $\beta$ 由兩部分(fēn)組成：

$\pmb{X}_t\pmb{\Psi}_t\pmb{X_t}^\prime\pmb{X}_t+\pmb{U}_t\pmb{\Omega}_t\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t$

當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 時(shí)，上(shàng)述中第二項為(wèi)零。由于第↓γ♣$一(yī)項是(shì) $\pmb{X}_t$ 和(hé)某個(gè)可(kě)逆矩陣相(xiàng)∏ ₹乘，且由模型假設已知(zhī) $\pmb{X}_t$ 和(hé) $\pmb{\mu}_t$ 的(de)線性關系，因此 $\beta$ 确實能(néng)夠完美(měi)解釋預期收益率。

然而，當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t\ne 0$ 時(shí)（即約束條件(jiàn)不(bù)滿足），上(♣±±shàng)述第二項不(bù)為(wèi)零。因此 $\beta$ 會(huì)被 $\pmb{X}_t$ 之外(wài)的(de)部分(fēn)所“污染”，而這(z★hè)部分(fēn)是(shì)沒有(yǒu)被定價的(de)≠♦¶（因為(wèi)隻有(yǒu) $\pmb{X}_t$ 和(hé)預期收益率有(yǒu)關）。由于 SDF 隻包含Ωγ±被定價的(de)風(fēng)險，而上(≠•shàng)述構造的(de)因子(zǐ)中存在未₩∏ ∏被定價的(de)風(fēng)險，因此使用(yòng∞×™)上(shàng)述因子(zǐ)勢必會(huì)犧牲投資機(jī)✔↓會(huì)。那(nà)麽，在實踐中，當 $\pmb{U}_t^\prime\pmb{X}_t=0$ 不(bù)滿足時(shí)，能(néngΩ©®)否通(tōng)過某些(xiē)方法對(duì)♣ 沖掉未被定價的(de)風(fēng)險，從(cóng)而構造更好(φ'×αhǎo)的(de)因子(zǐ)呢(ne)？這(zhè)就(jiù)是(shìλ>) Kozak and Nagel (202<$‍2) 一(yī)文(wén)討(tǎo)論的(de)第二個(gè)方面，≥<←£我們擇日(rì)再來(lái)梳理(lǐ)。

參考文(wén)獻

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免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在↑✘★任何情況下(xià)，本文(wén)的(dα ¥e)內(nèi)容、信息及數(shù)據或所表述的(de)意見(jià&↔✘n)并不(bù)構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資α×♥建議(yì)。在任何情況下(xià)，本文(wé↔"$n)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)對(☆×duì)任何人(rén)因使用(yòng)本•π¥ε文(wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負 ≈任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外(wài)，文(wén)中圖表↕ 均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xi♠®↓àng)應論文(wén)，僅為(wèi)介紹₩×‍之用(yòng)，版權歸原作(zuò)者和(hé®ε∏)期刊所有(yǒu)。

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