Augmented Fama-MacBeth Regression

發布時(shí)間(jiān)：2023-06-05 | £←> 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：增強版 Fama-MacBeth Regression 是(shì)←₹研究 nontradable factor 的(deσ∏σ)利器(qì)。

因子(zǐ)有(yǒu) tradable factors 和(hé↔©± ) nontradable factors 之分(↓♦fēn)。對(duì)于前者而言，常見(jiàn)的(de)做(zuò)法是>♦(shì)直接用(yòng)公司特征構造 managed pβ★ortfolios；而對(duì)于後者，Fama-MacBeth two₽•-pass regression 往往是(shì)首選，即在第一(y‍> ÷ī)步中在時(shí)序上(shàng)用(yòng)資産（超額₽®）收益率對(duì)因子(zǐ)取值回歸來(lái)估計(jì) ×φ $\beta$ ，第二步中每期在截面上(shàng)用(yò↔→$♣ng)資産（超額）收益率對(duì) $\beta$ 回歸估計(jì)因子(zǐ) risk pr₹λ¥emia 和(hé)資産的(de) pric♠•π∑ing errors。令 $\beta_{i,t-1}$ 表示 $t-1$ 期資産 $i$ 的(de)因子(zǐ)暴露向量， $r_{i,t}$ 表示 $t$ 期資産 $i$ 的(de)超額收益率，則上(shàng≈♦£₩)述第二步截面回歸模型可(kě)以表示為(×β<wèi)（為(wèi)了(le)簡化(huà)符号，假設不(bù)帶截距項）：Ω$★↓

$\displaystyle r_{i,t}=\beta_{i,t-1}^\prime f_t+\alpha_{i,t}$

式中 $f_t$ 為(wèi) $t$ 期因子(zǐ)收益率向量，殘差 $\alpha_{i,t}$ 則為(wèi)資産 $i$ 的(de) pricing error。按照(zhào)≠☆✔傳統做(zuò)法，隻需在每期 $t$ 進行(xíng)截面回歸，然後就(jiù)可(kě)以對(duì)&<α← $f_i$ 和(hé) $\alpha_{i,t}$ 進行(xíng)相(xiàng)應的(de) 檢驗。故事(shì)到(dào)此似乎就(jiù)結束了(le)。不(bù↔♣☆ )過，既然本文(wén)的(de)題目帶₽<←±個(gè)“augmented”，下(xià)面我們就(ji≠∞‌ù)來(lái)看(kàn)看(kàn)≈£上(shàng)述過程有(yǒu)什(shén)麽痛點±α$。

在上(shàng)述過程中，如(rú)果 nontradabl∏÷e factors 數(shù)量衆多(duō)（比如(rúγ§φ)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過 ad-hoc 模型中通(γΩ€tōng)常使用(yòng)的(de) 3 – 5₽← ♥ 個(gè)因子(zǐ)）且高(gāo)度相(xiàng)關✔$™↕，那(nà)麽回歸估計(jì)就(jiù)會(huì)有(yǒu≈ )巨大(dà)的(de)誤差。因此，一(yī)個(gè)自(zì ®±)然的(de)想法就(jiù)是(shì)對φ★€β(duì)因子(zǐ)進行(xíng)降維處理(lǐ)。這(zhè)$↓>時(shí)，我們便可(kě)以請(qǐn<®™g)出這(zhè)幾年(nián)非常火(huǒ)的(d✔‍e) IPCA（工(gōng)具變量 PCA）方法φ>（Kelly, Pruitt, and Su 2019←‌♠）。該方法将 $\beta$ 視(shì)為(wèi)原始（高(gāo)維）×協變量的(de)線性組合，即：

$\displaystyle\beta_{i,t}=\Gamma c_{i,t}$

其中 $L\times 1$ 維向量 $c_{i,t}$ 表示 $t$ 期資産 $i$ 在 $L$ 個(gè)原始高(gāo)維協變量（工(gōng)具變量）的(de)取>∏★值， $\Gamma$ 是(shì) $K\times L$ 維矩陣，将原始工(gōng)具變量通(tōng)過 $K$ 個(gè)線性組合降為(wèi)到(dào) $K$ 個(gè)因子(zǐ)，得(de)到(dào)資産 $i$ 對(duì) $K$ 個(gè)因子(zǐ)的(de)暴露向量 $\beta_{i,t}$ 。加入 IPCA 之後，Fama-MacBe"π≤↕th 第二步的(de)截面回歸變為(wèi)≥₹<

$\displaystyle r_{i,t}=(\Gamma c_{i,t-1})^\prime f_t+\alpha_{i,t}$

在實際應用(yòng)中， $c_{i,t}$ 已知(zhī)。我們可(kě)以通(tδ₽ōng)過最小(xiǎo)化(huà)所有(yǒu)資産的(de) p"Ω¶ricing errors 來(lái)估計(jì) $\Gamma$ 。在上(shàng)述目标下(xià)，最優化(huà)問×™δ₹(wèn)題的(de)目标函數(shù)等價≥↑♥于

$\displaystyle\min_{\Gamma, \left\{f_t\right\}}\frac{1}{2}\sum_{i,t}\left(r_{i,t}-(\Gamma c_{i,t-1})^\prime f_t \right)^2$

值得(de)一(yī)提的(de)是(shì)，雖↑∞∑然上(shàng)述最優化(huà)問(wèn)題中的(de↔$±&)變量包括 $\Gamma$ 和(hé)每期的(de) $f_t$ 。但(dàn)是(shì)，一(yī)旦給定 $\Gamma$ ， $\beta$ 實際上(shàng)就(jiù)确定了(le)，而一(yī)旦 $\beta$ 确定了(le)，使得(de) pricing errors 最小(★₹xiǎo)的(de)因子(zǐ)收益率 $f_t$ 自(zì)然而然就(jiù)得(de)到(dào)了(le)。上( ¥shàng)述邏輯保證了(le) $\Gamma$ 和(hé) $f_t$ 之間(jiān)內(nèi)在的(de) economic con'φnection。那(nà)麽至此，我們是(shì)否 augmented 完了(le)呢Ω‌(ne)？（Hint：既然問(wèn)了(le)，當然還(hái)沒有ε∞(yǒu)。）

在第二節中，我們将 IPCA 加入到(dàoλ↕) Fama-MacBeth 中，将原始 $L$ 個(gè)工(gōng)具變量通(tōng)過 $K$ 個(gè)線性組合轉化(huà)成 $K$ 個(gè)因子(zǐ)，從(cóng)而實現(xiàn÷β← )了(le)降維。但(dàn)是(shì)從(cóng)數(s₹ hù)學表達式中不(bù)難看(kàn)出，每¶£ 個(gè)因子(zǐ)都(dōu)是(shì) $L$ 個(gè)變量的(de)某種組合。在現(xiàn)實中， $L$ 很(hěn)可(kě)能(néng)是(shì•♥≤‌)高(gāo)維的(de)（幾百甚至上(shàng)千¥∏ ），而我們雖然指望數(shù)據發聲，但(dàn)同時(s≠♠π★hí)有(yǒu)先驗告訴我們 $L$ 中的(de)某些(xiē)工(gōng)具變量和(h σ$®é) $\beta$ 沒什(shén)麽關系，因此在 $\Gamma$ 中不(bù)應該發揮作(zuò)用(yòng)（即對(duìπ™★≈)應的(de)列應該都(dōu)是(shì)元α©γ±素零）。在這(zhè)樣的(de)背景下(xià£ )，我們希望在構造 $\Gamma$ 的(de)時(shí)候，引入稀疏性（sparsity），得(de)到(dà☆≥↕→o) Sparse IPCA。

為(wèi)此，在估計(jì) $\Gamma$ （以及 $f_t$ ）的(de)時(shí)候加入罰項：

$\displaystyle\min_{\Gamma, \left\{f_t\right\}}\frac{1}{2}\sum_{i,t}\left(r_{i,t}-(\Gamma c_{i,t-1})^\prime f_t \right)^2+\lambda\sum_{l=1}^L\lVert\Gamma_l\rVert_2+\sum_t\lVert f_t\rVert_2^2$

式中 $\Gamma_l$ 表示 $\Gamma$ 的(de)第 $l$ 列，且

$\displaystyle\lVert\Gamma_l\rVert_2=\sqrt{\Gamma_{1,l}^2+\Gamma_{2,l}^2+\cdots+\Gamma_{K,l}^2}$

目标函數(shù)中第一(yī)個(gè)≤↕£罰項（式中第二項）可(kě)理(lǐ)解為(wèi) colum↕αn-wise group lasso。如(rú)果εΩ'≠第 $l$ 個(gè)工(gōng)具變量對(duì)估計>♥(jì) $\beta$ 沒有(yǒu)幫助，那(nà)麽 $\Gamma$ 中的(de)第 $l$ 列将會(huì)為(wèi)零。目标函數(shù)中的(de)第二個(gè)罰項（式中第三項）是(shì)出×↕<于技(jì)術(shù)方面的(de)考慮而加上("€shàng)的(de)。注意，目标函數(shù)中的(deφ↕≠♦)第一(yī)項是(shì) pricing errors，在‍↓縮放(fàng) $\Gamma$ 時(shí)，我們總能(néng)通(tōng)過擴大(dà) $f_t$ 來(lái)保證第一(yī)項不(bù)變。因此，如(rú)果目标函♣δ數(shù)中沒有(yǒu)第二個(gè↓₽ )罰項，那(nà)麽将會(huì)出現(xiàn)這(zhè)樣的(de)結"λ果，即在不(bù)改變 pricing ≥↔errors 的(de)前提下(xià) $\Gamma$ 将會(huì)變得(de)非常小(xi×£₹↓ǎo)從(cóng)而使正則化(huà)失去(qù)本來‌×¥"(lái)的(de)作(zuò)用(yòng)。目标函數(shù)中置于 φ♦←¶ $f_t$ 的(de)罰項正是(shì)為(wèi)了(le)避免上(shàn‍∏g)述情況發生(shēng)而出現(xiàn)。最後，由于加入了(le)罰項，我們需要(yào)對(duì)超參數(shù)ε↕ $\lambda$ 調優。對(duì)于每個(gè)給定的(de) $\lambda$ ，求解最優化(huà)問(wèn)題可(kě)得(de)到(dào)對(du©→Ωì)應的(de) $\Gamma$ 和(hé) $f_t$ 時(shí)序。由資産定價理(lǐ)論可(kě)知(zh★$‌ī)，因子(zǐ)構造的(de) OOS 夏普比率 ' 平方應該盡可(kě)能(néng)大(d π₽à)，而夏普比率可(kě)以表示為(wèi)：

$\displaystyle\sqrt{\mu_f^\prime\Sigma_f\mu_f}$

其中 $\mu_f$ 是(shì)因子(zǐ)預期收益率， $\Sigma_f$ 是(shì)因子(zǐ)協方差矩陣，它們均×≥™可(kě)通(tōng)過因子(zǐ)收益率時(shí)序估計(π&$&jì)得(de)到(dào)。因此可(kě)以以此> '為(wèi)目标确定最優的(de) $\lambda$ 。

Okay！以上(shàng)就(jiù)完成了(l♥♦ e)“augmented”部分(fēn)的(de"δ¥₽)介紹。即我們從(cóng) Fama-MacBeth two-pass ±‍ regression 出發，首先加入了(le) IPCA 實現(xi‌♠àn)了(le)降維，然後又(yòu)在 IPCA£≈ 基礎上(shàng)進而使用(yòng) Spa•σrse IPCA 從(cóng)而确保聚焦于隻和(hé) $\beta$ 有(yǒu)關的(de)變量，最後通(tōng)過經濟學理(lǐ)論為(wè™‌i)依據進行(xíng)超參數(shù)調優。

前面三節簡單說(shuō)了(le)方法論，本文(wén™ )最後一(yī)節來(lái)說(shuō)說(shuō)應用(yΩ→òng)以及本文(wén)的(de)動機(jī)。我寫今天這(zhè)篇文(wén)章(zhā∏♥ $ng)時(shí)之所以沒有(yǒu)上∑☆♣"(shàng)來(lái)就(jiù)介紹動機(jī)，是 <<$(shì)因為(wèi)我認為(wèi)這(zhè)個(gè) aug‌←mented Fama-MacBeth regress✔π←★ion 的(de)價值更大(dà)，而非 ±下(xià)面要(yào)介紹的(de)實證結果。這(zhè)個(gè)方法出自(zì) By$←bee, Kelly, and Su (forthcoming) 這(z↕®¥hè)篇題為(wèi) Narrative Asset Pricinλ¥g 的(de)文(wén)章(zhāng)。介紹該文(wén)之前，先來(l" ↔ái)簡單說(shuō)一(yī)下(xià) Bybee, et a±©l. (forthcoming)。Bybee, et al.✘®± (forthcoming) 使用(yòng) LDA 将 1984γ€ 至 2017 年(nián)間(jiān)華爾街(jiē)日(rì$¥∞)報(bào)的(de)文(wén)章(zhāng)分(fēn)析出了(l•π©e) 180 個(gè) topics，并✘©★≤且給每個(gè) topic 計(jì)算(suàn)了(le)一(yī)Ωσ個(gè) attention 的(de)時(shí)間(ji¥$<ān)序列。（例如(rú)，下(xià)圖展示了(le) Commβγ'♥odities, Mortgages 以及 Small caps 三個(gè)₩∞ topics 的(de) attent✔•πion 的(de)時(shí)間(jiān)序列。）

再來(lái)說(shuō) Bybee, Kelly, and Su (f₹¶orthcoming)。這(zhè)篇文(wén)章(zhāng♥←)的(de)動機(jī)是(shì)從(cóng) ICAPM‌☆γ 出發，猜想财經新聞揭示了(le)投資者關于未來(♦€lái)投資機(jī)會(huì)的(de)信念，從(cóng)而能(néα×γ®ng)夠影(yǐng)響資産的(de)價格≠≥。為(wèi)此，該文(wén)利用(yòng) Bybee, e‌↔t al. (forthcoming) ≤€構造的(de) 180 個(gè) topics 構造了(le)基于新聞報(<↔γ™bào)道(dào)的(de)多(duō)因子(zǐ)模型，↔α↔這(zhè)也(yě)是(shì)該文(wén)題>為(wèi) Narrative Asset Pricing 的(de)原因。®<

在實證細節方面，該文(wén)使用(yòng)資‍φ§γ産收益率和(hé)新聞 topics 時(shí)序‌ $z_{t}$ 的(de)協方差作(zuò)為(wèi)工(gōng)具變量，即 $c_{i,t}=cov(r_{i,t},z_t)$ 。而至于為(wèi)什(shén)麽不(bù)在有(yǒu)了Ω'÷Ω(le) $z_t$ 之後直接使用(yòng) Fama-MacBeth，而是(shì)既要(yà ↔o)降維又(yòu)要(yào)稀疏呢(ne)？該文(wσ‍←én)給出的(de)回答(dá)是(shì)：（1）很($±hěn)多(duō) topics 所代表的(de) state vari‌×able 很(hěn)可(kě)能(néng)是(shì)非常接✘☆近(jìn)的(de)，比如(rú) Economic "λgrowth 和(hé) Recessi ♥πon 這(zhè)兩個(gè) topics§α♦ ，所以降維是(shì)必要(yào)的(de)；（2）很(hěn)多(du€÷ō) topics 可(kě)能(néng)和(hé)資産定價沒什(‌☆•<shén)麽關系，比如(rú) Gender issues，₩±±因此稀疏性也(yě)是(shì)必要(yào)的(de)。基于此，該文(wén)最終提出了(le)上(shàng€♦÷)文(wén)介紹的(de) Sparse IPCA λλ₹±augmented Fama-MacBeth 方÷γ法。具體(tǐ)的(de)細節，感興趣的(de)小(x εiǎo)夥伴請(qǐng)閱讀(dú) Bybee, Kelly, an÷α‍d Su (forthcoming) 原文(wén)（注意該文(wén)中的✔ε(de)數(shù)學 notation 和(hé)我本文σ∞(wén)中的(de)不(bù)盡相(xiàng)同，→→例如(rú)本文(wén)中的(de) $\Gamma$ 是(shì) Bybee, Kelly≤₹≥↕, and Su (forthcoming) 中 $\Gamma$ 的(de)轉置）。

在實證結果方面，無論是(shì)對(duìα‍¶¶) test assets 的(de)定價能(←₽✘néng)力還(hái)是(shì)因子(zǐ)構造的(de) OOS " 最大(dà)夏普比率，該方法構造的(de)新聞因子(zǐ)‌ε在和(hé)傳統基于公司特征的(de) ad-hoc 多(duσ&Ω™ō)因子(zǐ)模型相(xiàng)比都≠ (dōu)是(shì)不(bù)落下(xià)風(fēngε£)的(de)。以夏普比率而言，當使用(yòng) 6 個(gè)因子(zǐ)時≥¶≠€(shí)，該模型 OOS 的(de)夏普比率為(wèi) 1.31，而 ★εδFF5 + Carhart 動量的(de) OOS 夏普比率隻有(y€♠∞>ǒu) 0.67。僅從(cóng)實證結果來(lái)看(kàn)ε₽γ，該新聞因子(zǐ)模型構造的(de)最大(dà)夏普比率确實不(bù)如¶Ω(rú)近(jìn)年(nián)來(lái)各種公司特征 + 機§₩®(jī)器(qì)學習(xí)所構造的(de)因子(zǐ) ↔。但(dàn)不(bù)要(yào)忘了(le)，該♥★☆模型中的(de)因子(zǐ)僅僅來(lái)自(zì)資産收益率和(hé)新聞™的(de)協方差，而沒有(yǒu)使用(yòng)任£♠ §何公司特征。此外(wài)，Bybee, Kelly, and Su ←∏∑λ(forthcoming) 除了(le)我詳細介紹的¶♦(de) return model 之外(wài)，還(hái)有(yǒu) ↑¥←news model 的(de)部分(fēn)。通(α✘tōng)過它可(kě)以反推出 state variables，從&Ω±(cóng)而提供公司特征之外(wài)的(deβσ≠) insights。

而對(duì)我而言，該文(wén) Fama-MacBeth regression → ✔÷+ IPCA + Sparsity + OOS SR based &‍π★tuning 這(zhè)個(gè)清晰的(de)框架才是(shì)最大(dà)的(de)收獲。它可(kě)以成☆≤&為(wèi)分(fēn)析 nontradable f>≠×actors 的(de)有(yǒu)力工(gōng)具之一(γ§¥€yī)。

最後，我再忍不(bù)住“吐個(gè)槽”。Bybee, ≤ ‍↑Kelly, and Su (forthcoming) 如(rú)今÷σ>已經 RFS forthcoming。在±÷®★ 2022 年(nián)某個(gè)會(huì)議(yì)上(shàng) ∞ σ©Kelly 作(zuò)報(bào)告時(shí)，他(tā)在實證部分γ∞®₩(fēn)幾乎每頁 slide 都(dōu)$≥強調他(tā)們的(de)結果是(shì) OOS 的(™₩β de)。但(dàn)是(shì)，他(tā)們使用(yòng)的(de¶∞) 180 個(gè) topics 可(kě)是(shì)用>δ&(yòng) 1984 到(dào) 2φ ∞λ017 全局的(de)新聞數(shù)據構造出來(lá∏↕≥∞i)的(de)（180 這(zhè)個(g♣¥≠è)取值就(jiù)是(shì)通(tōng)過全局數(shù)據最$↓¥優化(huà)選定的(de)）。因此，這(zhè)樣的(de) asδ&set pricing 結果真的(de)是(shì) ‍≥100% OOS 嗎(ma)？鑒于國(guó)內(nèi)頂刊無腦(nǎo)照(zhào)搬海(∞'↓‍hǎi)外(wài)頂刊不(bù)可(kě)δ<®≥阻擋的(de)大(dà)趨勢，還(hái)想對(duì)國(guó)↓β內(nèi)的(de)某些(xiē)（僞）一(yī)流學者說( 'shuō)一(yī)句，如(rú)果這(zhè)篇文(wén)章(zhāng×£↕)在你(nǐ)的(de) to repl×≥±icate list 之上(shàng)，那(nà)麽"≠✘請(qǐng)你(nǐ)在照(zhào)搬之前至少(shǎo)≥‌"先搞清楚 Bybee, Kelly, and Su (β‍≥πforthcoming) 最核心的(de)內(nèi)容是(shì)什(shé©‌λπn)麽。

參考文(wén)獻

Bybee, L., B. T. Kelly, A≥•. Manela, and D. Xiu (forth←↕ coming). Business news andβ≠ ‌ business cycles. Journal of Finance.

Bybee, L., B. T. Kelly, and Y. Su (forβ♣thcoming). Narrative asset pricing: φ✘Interpretable system¥ ↓∞atic risk factors from new λ>s text. Review of Financial Stu×↕β₩dies.

Kelly, B. T., S. Pruitt, aα<®δnd Y. Su (2019). Characteristics are β€£covariances A unified mode∏♠€l of risk and return. Journal of Financial Economics 13₩✔4(3), 501 – 524.

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下(x↕> ià)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息及數<∑(shù)據或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)任何§✘人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下(xià)，本✘Ω≥文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)對(duì)↓'任何人(rén)因使用(yòng)本文(wén)的(de)任γβ≠何內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特γ•♥别說(shuō)明(míng)外(wài)，文(w→ ↕©én)中圖表均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàn$♠$♣g)應論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò)λ÷♦♦者和(hé)期刊所有(yǒu)。

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