寫給你(nǐ)的(de)金(jīn)融時‌↕♥±(shí)間(jiān)序列分(fēn)析：預測篇

發布時(shí)間(jiān)：2024-09-29 | ✔♥ 來↑<(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：在金(jīn)融市(shì)場(chǎng)中，時(sh©≤γ>í)間(jiān)序列分(fēn)析建模的(de)目标是(shì)進行←✘↔(xíng)預測，并基于預測做(zuò) informed decision← ♣₹s。本文(wén)介紹常見(jiàn)模型的(de)多(duō)步預測。

1 Conditional Expectation

條件(jiàn)期望（conditional expectation）是"εδ(shì)預測中的(de)一(yī)個(gè)重要(yào)工‍>(gōng)具。在 model specification 正£×确的(de)前提下(xià)，條件(jiàn)期望代表←×α了(le)在已知(zhī) $X$ 的(de)條件(jiàn)下(xià) $Y$ 的(de)最佳預測器(qì)，能(néng)有$ α×(yǒu)效最小(xiǎo)化(huà)均方誤差（MSE）σ♠。這(zhè)種特性使得(de)條件(jiàn)期望成為(wσ →èi)理(lǐ)解和(hé)應用(yòng)預測γ♥模型的(de)基石。

從(cóng)直覺上(shàng)說(shuō)，如(rú)果∞$∏模型能(néng)夠準确反映變量間(jiān)的(de)真實關系、沒有(yǒ₩"←u)模型設定偏誤問(wèn)題，那(nà)麽通(tōng)過<α¶©條件(jiàn)期望得(de)出的(de)預測'‌®§将不(bù)僅是(shì)無偏的(de)，也(yě)是(s'≈hì)效率最高(gāo)的(de)。這(zhè)意味著(zhβ$e)任何預測誤差都(dōu)僅來(lái)源于随機(jī)噪聲β₩ ↕，而非模型結構的(de)不(bù)足。因此，為↑π(wèi)了(le)介紹不(bù)同時(shí)間(jiān)序列模型的(de♥ )預測，讓我們先從(cóng)條件(jiàn)期望說(s∑®>≥huō)起。

假設我們通(tōng)過變量 $X$ 形成關于變量 $Y$ 的(de)預測，記為(wèi) $\hat Y=f(X)$ 。可(kě)以證明(míng)，能(néng)夠最小"× (xiǎo)化(huà) $\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 的(de)預測為(wèi)條件(jiàn)期望，即 ↔γ $f=\mathbb{E}[Y|X]$ 。為(wèi)了(le)這(zhè)一♣→≠≠(yī)點，下(xià)面先來(lái)討(tǎo)論條件(jiàn)期望的 ‍(de)一(yī)些(xiē)性質。

為(wèi)此，将 $Y$ 分(fēn)解為(wèi) $Y=\mathbb{E}[Y|X]+e$ ，其中 $e$ 為(wèi)誤差。對(duì)兩邊取期望可(kě)知(zhī) ☆± $e$ 的(de)條件(jiàn)期望為(wèi)零‍£：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[e|X]&=&\mathbb{E}[Y-\mathbb{E}[Y|X]|X]\\ &=&\mathbb{E}[Y|X]-\mathbb{E}[Y|X]\\ &=&0. \end{array}$

此外(wài)，利用(yòng) law δ→of total expectation 可(kě)知(zhī)， ≥±γ₽ $e$ 的(de)非條件(jiàn)期望也(yě)是(←✔shì)零，即 $\mathbb{E}[e]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[e|X]]=0$ 。除此之外(wài)，還(hái)可(kě)以證明(míng)←φ♦ $\mathbb{E}[Xe]=0$ ：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[Xe]&=&\mathbb{E}[X(Y-\mathbb{E}[Y|X])]\\ &=&\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X\mathbb{E}[Y|X]]\\ &=&\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[XY]\\ &=&0. \end{array}$

事(shì)實上(shàng)，對(duì)于 $X$ 的(de)任何函數(shù) $h(X)$ 均有(yǒu)：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[h(X)e]&=&\mathbb{E}[h(X)(Y-\mathbb{E}[Y|X])]\\ &=&\mathbb{E}[h(X)Y]-\mathbb{E}[h(X)\mathbb{E}[Y|X]]\\ &=&\mathbb{E}[h(X)Y]-\mathbb{E}[h(X)Y]\\ &=&0. \end{array}$

上(shàng)式對(duì)于後續證明(míng) $\mathbb{E}[Y|X]$ 能(néng)夠最小(xiǎo)化(huà) MSE 很(hěn)重要(yà☆"o)。它的(de)直覺解釋是(shì)，條件(jiàn)期望具有(yǒu)“正交”性質，即誤差 ε★∏γ $e$ 與 $X$ 的(de)任何函數(shù)不(bù)相(xi↔φ∏àng)關，即 $E[h(X)e] = 0$ 。這(zhè)确保沒有(yǒu)任何信息被遺漏，即預測誤差 $e$ 中不(bù)包含關于 $X$ 的(de)任何系統成分(fēn)。

基于上(shàng)述性質，可(kě)以進一(yī)步σ→∏±證明(míng) $\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\le\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ ，即在所有(yǒu)的(de) $f(X)$ 中， $f=\mathbb{E}[Y|X]$ 的(de) MSE 最低(dī)。為(wèi)了(le)說(shπ♠πuō)明(míng)這(zhè)一(yī)點，對(du↔♠λì) $Y-f(X)$ 進行(xíng)分(fēn)解：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[(Y-f(X))^2]&=&\mathbb{E}[((Y-\mathbb{E}[Y|X])+(\mathbb{E}[Y|X]-f(X)))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2\\ &&+2(Y-\mathbb{E}[Y|X])(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))\\ &&+(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\\ &&+2\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))]\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]. \end{array}$

利用(yòng)之前探討(tǎo)的(de÷™) $h(X)$ 和(hé) $e$ 的(de)關系，上(shàng)式中右側的(de)第☆♥↔二項為(wèi)零：

$\mathbb{E}[\underbrace{(Y-\mathbb{E}[Y|X])}_{e}\underbrace{(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))}_{h(X)}]=0,$

所以 $\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 進一(yī)步化(huà)簡為(wèi)：

$\begin{array}{rll} \mathbb{E}[(Y-f(X))^2]&=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]+0\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\\ &=&\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\\ &&+\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]. \end{array}$

由于 $\mathbb{E}[(\mathbb{E}[Y|X]-f(X))^2]\ge 0$ ，所以

$\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y|X])^2]\le\mathbb{E}[(Y-f(X))^2]$ 。

利用(yòng)條件(jiàn)期望，我們就(≥→ jiù)可(kě)以使用(yòng)各種時(shí)間(jiān)序列模型進行£∏(xíng)預測。

2 AR Model Forecast

考慮時(shí)間(jiān)序列 $\{r_t\}$ 。假設我們現(xiàn)在在time index ←← $h$ ，我們要(yào)預測 $l\ge1$ time step ahead，其中 $h$ 又(yòu)被稱為(wèi)預測起點， $l$ 被稱為(wèi)預測期限。令 $\mathcal{F}_h$ 表示截至 $h$ 時(shí)刻的(de)所有(yǒu)曆史信息，而 $\hat r_{h+l}$ 則表示預測量。則根據第一(yī)節的(de)討®←γ(tǎo)論可(kě)知(zhī)，最佳>₩的(de)預測量為(wèi)：

$\hat r_{h+l}=\mathbb{E}[r_{h+l}|\mathcal{F}_h].$

下(xià)面我們考慮 AR(p) 模型。首先∑≤✘φ從(cóng)最簡單的(de) 1-step aheεαad forecast 說(shuō)起。使用(yòng)條件(jiàn)期望ε↓并利用(yòng) AR(p) 模型的(de)定義，該預± $♠測為(wèi)：

$\begin{array}{rll} \hat{r}_{h+1} &=& \mathbb{E}[r_{h+1} | \mathcal{F}_h] \\ &=& \alpha_0 + \alpha_1 r_h + \alpha_2 r_{h-1}\\ && + \cdots + \alpha_p r_{h+1-p}. \end{array}$

顯然，在上(shàng)式中，截至 $h$ 時(shí)刻，所有(yǒu)的(de)曆史序列都(dōu)是(shì §)已知(zhī)的(de)，因此期望就(jiù)是(s$¥₽hì)曆史已實現(xiàn)值本身(shēn)。進一(y÷₩ī)步考察 2-step ahead forecast。由模型可(α∞kě)知(zhī)，

$\begin{array}{rll} r_{h+2} &=& \alpha_0 + \alpha_1 r_{h+1} + \alpha_2 r_h \\ &&+ \cdots + \alpha_p r_{h+2-p} + w_{h+2}. \end{array}$

對(duì)兩邊同時(shí)取條件(jiàn)期₽←↔望可(kě)得(de)：

$\begin{array}{rll} \hat{r}_{h+2} &=& \mathbb{E}[r_{h+2} | \mathcal{F}_h]\\ & =& \alpha_0 + \alpha_1 \hat{r}_{h+1} + \alpha_2 r_h\\ && + \cdots + \alpha_p r_{h+2-p}. \end{array}$

在上(shàng)式中，除了(le) $h+1$ 時(shí)刻的(de)取值均是(shì)已發生(shēng)的(de)曆史®π值；而 $h+1$ 時(shí)刻的(de)條件(jiàn)✘✔β期望 $\mathbb{E}[r_{h+1}|\mathcal{F}_h]$ 則恰恰就(jiù)是(shì) 1-step ahead for♥↔×£ecast $\hat{r}_{h+1}$ ，隻需把它帶入即可(kě)。這(zhè)個(λ βgè)例子(zǐ)也(yě)說(shuō)明(míng)，為(wèi)了↔ ↔♣(le)預測 $h+2$ ，首先要(yào)得(de)到(dào) $h+1$ 的(de)預測。

最終，我們可(kě)以将其拓展到(dào) $l$ -step ahead forecast：

$\hat{r}_{h+l} = \alpha_0 + \sum_{i=1}^p \alpha_i \hat{r}_{h+l-i}.$

其中有(yǒu)一(yī)點 notation 需要(y ≥ào)注意的(de)是(shì)，如(rú)果時(shí)刻 $h+l-i$ 已經發生(shēng)（即 $l-i\le 0$ ），那(nà)麽 $\hat{r}_{h+l-i} = r_{h+l-i}$ ；反之， $\hat{r}_{h+l-i}$ 表示該時(shí)刻模型的(de)預測結果。換句話(huà✔>Ω®)說(shuō)，為(wèi)了(le)得(de)到(dào) "<≤< $h+l$ 的(de)預測，我們需要(yào)先求出∏'§前 $l-1$ 步預測；而如(rú)果 AR(p) 模型的(de)階數(shù)超過 $l$ ，那(nà)麽還(hái)會(huì)額外(wài)用(yòng)到(dà÷←o)一(yī)些(xiē)曆史數(shù)據。

3 MA Model Forecast

對(duì)于 MA 模型，我們如(rú)法炮制(zhì)σ♣。

以最簡單的(de) MA(1) 模型為(wèi)例，即 $r_t=\mu+w_t+\beta_1 w_{t-1}$ ，它的(de) 1-step ahead foδ♥↕πrecast 為(wèi)：

$\hat r_{h+1}=\mathbb{E}[r_{h+1}|\mathcal{F}_h]=\mu+\beta_1w_{h}.$

上(shàng)式中，在計(jì)算(su∞ àn)條件(jiàn)期望時(shí)，用( β→yòng)到(dào)了(le) $\mathbb{E}[w_{h+1}|\mathcal{F}_h]= \mathbb{E}[w_{h+1}]=0$ 。類似的(de)，2-step ahead foreca≠β↓st 為(wèi)：

$\begin{array}{rll} \hat r_{h+2}&=&\mathbb{E}[r_{h+2}|\mathcal{F}_h]\\ &=&\mu+\mathbb{E}[w_{h+2}]+\mathbb{E}[\beta_1w_{h+1}]\\ &=&\mu. \end{array}$

值得(de)一(yī)提的(de)是(shì)，對(duì)>×于 MA(1) 而言，從(cóng) 2-step ahead↑ 開(kāi)始，預測值就(jiù)退化(©Ω♦φhuà)為(wèi)該模型的(de)非條件(jià€βφn)均值了(le)。我們可(kě)以把上(shàng)述結論拓展到(dào ≈£ ) MA(q) 模型：對(duì)于 $l>q$ ，預測值為(wèi)非條件(jiàn)均值。另外(wài)，λ↕将 AR 和(hé) MA 合并，可(kě)以類似‌$✔∏的(de)推導 ARMA 的(de)預測，本文(wén‍≤←∏)不(bù)再贅述。

4 ARCH Model Forecast

我們再将目光(guāng)轉向方差模型，即 ARCH/GARCH。以 ARC₹©©H 為(wèi)例，它的(de)預測和(hé) AR 模型非常類似。例如®"↕‌(rú)，ARCH(p) 模型的(de) 1-ste€ε★p ahead forecast 預測為(wèi)：

$\begin{array}{rll} \hat \sigma^2_{h+1}&=&\mathbb{E}[\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]\\ &=&\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{h}^2+\alpha_2 \epsilon_{h-1}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+1-p}^2. \end{array}$

再看(kàn) 2-step ahead forecast。利用(yòng)©Ω→™ $\mathbb{E}[\epsilon_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]= \hat\sigma^2_{h+1}$ 可(kě)得(de)到(dào)：

$\begin{array}{rll} \hat \sigma^2_{h+2}&=&\alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}[\epsilon_{h+1}^2|\mathcal{F}_h]+\alpha_2 \epsilon_{h}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+2-p}^2\\ &=&\alpha_0 + \alpha_1 \hat\sigma^2_{h+1}+\alpha_2 \epsilon_{h}^2\\ &&+\cdots+ \alpha_p \epsilon_{h+2-p}^2. \end{array}$

最終，将上(shàng)述過程拓展到(d' •>ào) $l$ -step ahead forecast：

$\hat \sigma^2_{h+l}=\alpha_0 + \sum_{i=1}^p\alpha_i\hat \sigma^2_{h+l-i}.$

和(hé) AR 模型一(yī)樣，這(zhè)裡(lǐ)需要(₹••↕yào)注意的(de)是(shì)當 $l-1\le 0$ 時(shí)，表明(míng) $h+l-i$ 已經發生(shēng)，因此 $\hat \sigma^2_{h+l-i}=\epsilon_{h+l-i}$ ；反之則使用(yòng)之前的(de)預測值 ∏ π $\hat \sigma^2_{h+l-i}$ 。

5 結語

Again, and again and again，本文(wéλ✔‍n)是(shì)對(duì)《寫給你(nǐ)的(d☆≥e)時(shí)間(jiān)序列分(fēγ✘n)析》系列的(de)一(yī)個(gè)必要(yào)補充（這(zhè)♣¶♠個(gè)系列原本隻有(yǒu) 4 篇文(wén)章γε (zhāng)，到(dào)今天又(yòu) ₹≈補充了(le) 3 次）。

本文(wén)首先討(tǎo)論了(le)條件(ji™∏àn)期望的(de)性質，然後基于條件(jiàn)期望給出了(₹∞$le)不(bù)同時(shí)間(jiān)序列模型的© ↓→(de)預測公式。在回歸分(fēn)析中，無論是(shì)線性模型β£♦→還(hái)是(shì)非線性模型，條件(¶©✘✔jiàn)期望都(dōu)代表了(le)在給定 $X$ 條件(jiàn)下(xià) $Y$ 的(de)最佳預測器(qì)，能(néng)夠★λ最小(xiǎo)化(huà)均方誤差。然而σ<，要(yào)使這(zhè)個(gè)估計(j£ ì)可(kě)靠，至關重要(yào)的(de)是(shì∏α$≠) model specification ₽♣≥正确。

當然，forecast 的(de)核心是(shì)在 OOS ₹ 能(néng)夠發揮作(zuò)用(yòng)。由于金(jīn)融市(shìα↓♣)場(chǎng)的(de)信噪比極低(dī)，我們能(néng)夠預測的€ε(de)部分(fēn)和(hé) $Y$ 本身(shēn)的(de)波動相(xiàngπ↔≥)比微(wēi)乎其微(wēi)（想想低(dī)的(deγ )可(kě)憐的(de) R-squared）。÷λ若想要(yào) forecast 真正發揮作(zuòσ ≈)用(yòng)，需要(yào)對(duì)待分(fēn)析的(de)問(π♦wèn)題有(yǒu)深刻的(de)理(lǐ)解，并密切↕←關注模型在樣本外(wài)的(de)表現(xiàn)。通(tōng)∞δ過持續的(de)驗證和(hé)調整，确保預測結果的&‌απ(de)穩健性和(hé)可(kě)靠性，讓理(lǐ)論模型更具實際應™<ε用(yòng)價值。

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險α‌★，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文(Ωσ✘wén)的(de)內(nèi)容、信息及±¥←數(shù)據或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì‌±↓÷)任何人(rén)的(de)投資建議(yε©"ì)。在任何情況下(xià)，本文(wéπ₹φn)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(bù)對(duì)任♥¥∑♦何人(rén)因使用(yòng)本文(wén)的(d¶♣✘±e)任何內(nèi)容所引緻的(de)任何☆×§損失負任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外(wài)γ€，文(wén)中圖表均直接或間(jiān)接來(lái'♥☆)自(zì)于相(xiàng)應論文(wén)，™'>±僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權↑÷♦歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(y≈≠αǒu)。

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