波動率的(de)日(rì)曆效應

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：本文(wén)解析中國(guó) A 股的(de)兩個(× <gè)波動率日(rì)曆效應，即周一(yī)的(de)波動率最高(gγ₩π'āo)，以及按照(zhào)日(rì)曆周計(jì)算(suàn)的(de¥←♥)周收益率的(de)波動率最低(dī)。

1 引言

嚴格的(de)說(shuō)，這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)的(ασde)題目應該叫“二階矩的(de)日(rì)曆效應”，因為(wèi♣​₹)它包括日(rì)收益率自(zì)身(shēn)的(de)波動率以及不(bù₽∞₹)同交易日(rì)之間(jiān)收益率的(de)協方差。但(dà®÷↑♦n)顯然，“波動率”是(shì)個(gè)更接地(dì)氣₹♣↕‍的(de)稱呼。

言歸正傳，投資者對(duì)股市(shì)中的(d±♦e)很(hěn)多(duō)收益率的(de)日(rì)曆效應并不(bù)陌生(shēng)，比如(rú)₽≠♦δ華爾街(jiē)流行(xíng)的(de)“Sell in May”和(hé)䥓January Barometer”（♦ 感興趣的(de)讀(dú)者請(qǐng)參看(kàn)《Sell in May and Go Away §€》和(hé)《過度數(shù)據挖掘之“一(yī)月(yuè)晴雨(yǔ)表”》），以及 A 股中流傳的(de)“星期四法定砸盤日(rì)”等。

今天我想從(cóng)波動率的(de)角度解讀(dú)兩個(gè)日(rì)曆效應↔"：

在具體(tǐ)分(fēn)析前不(bù)妨先給出結₹®±↕論：

下(xià)面就(jiù)以上(shàng)證指數(shù)為(wèi)例來✘φ©(lái)解釋這(zhè)兩個(gè)現(xiàn)象。

2 星期一(yī)波動率最高(gāo)

人(rén)們都(dōu)有(yǒu)這(zhè)樣"σ的(de)感受，即股價在周一(yī)的(de)波動往往較‍±星期內(nèi)的(de)其他(tā)幾天更大(dà↑♥♦∏)。以過去(qù) 15 年(nián)的(de)上(shàng↑Ω)證指數(shù)為(wèi)例，下(xià)圖為(§σ↑wèi)它在星期一(yī)到(dào)星期五這(αβ₩zhè)五天的(de)對(duì)數(shù)收益率的(de)箱體( €tǐ)圖。使用(yòng)對(duì)數(shù)收益率的(×↕de)原因是(shì)我們之後會(huì)使用(yòn♦✔g) F 檢驗來(lái)判斷這(zhè)些(xiē)收益率的(de)波動率✘☆₩是(shì)否相(xiàng)同，而 F 檢驗對(duì)待✘‍檢驗的(de)随機(jī)變量是(shì)否滿足正态分♦ε(fēn)布非常敏感。由于對(duì)數(sh≠±ù)收益率比收益率更符合正态分(fēn)布，因此我們使用(yòng)對(dβ±uì)數(shù)收益率進行(xíng)下(xià)面的(de)計(jì)&×‌÷算(suàn)。

從(cóng)圖中直觀來(lái)看(kàn↕∏Ω÷)，星期一(yī)的(de)對(duì)數(shù)收益率有(yǒu☆απ)更廣闊的(de)分(fēn)布，即更高φ®€(gāo)的(de)波動率。這(zhè)五∑¥個(gè)工(gōng)作(zuò)日(rì)的(de)對(duì)數(sh ≥λ‍ù)收益率的(de)标準差分(fēn)别為(wèi)：

除星期一(yī)外(wài)，其他(tā)γ€↔幾日(rì)的(de)标準差都(dōu)在 0.015 左右，而星‌±期一(yī)的(de)标準差則接近(jìn) 0.02。我們自(β> zì)然無法忽視(shì)這(zhè)樣的(de)區δ₹♣(qū)别，它顯然代表著(zhe)星期一(yī™♣•α)的(de)波動率和(hé)其他(tā)幾日(∏<↕αrì)在統計(jì)意義上(shàng)顯↕♥著的(de)不(bù)同。為(wèi)證明(míng)這(zhè)一↔₩™​(yī)點，對(duì)标準差的(de)平方即方差，兩兩進行(xíng) F₽≥ 檢驗。原假設為(wèi)被檢測兩日(rì)對(duì)數(shù)收Ω‌≠☆益率的(de)方差相(xiàng)同。在原假設下(xià)，上(shàng)述标準差結果發生×∑↑≈(shēng)的(de)概率為(wèi)：

比如(rú)，上(shàng)表中橫向星期一(yī)和(héγ★)縱向星期二對(duì)應的(de)數(shù)值 2.64¥ ¥5292e-11 意味著(zhe)在原假設下(xià)，星期β∞"×一(yī)和(hé)星期二的(de)對(duì)ε¶↕數(shù)收益率的(de)标準差出現(xiàn•₩ )如(rú)此之大(dà)差異的(de)概率$"≥≤為(wèi) 2.645292 的(de) -11 次方。如(rú)果以 1% 為(wèi)置信水(shuǐ)平♦¶₽（99% 的(de)顯著性水(shuǐ)平）為(wèi)标準，那(nà)我們™$無疑可(kě)以輕松的(de)拒絕星期一(yī)和(hé)其他($ε£tā)任何一(yī)天方差相(xiàng)同的(ασλ÷de)原假設。因此可(kě)以下(xià)結論說(shuō)，在一(yī)周之®¥α£內(nèi)，周一(yī)的(de)波動率最高(gāo)，且 π該結果在統計(jì)上(shàng)非常顯著。

接下(xià)來(lái)就(jiù)要(yào)回答(dá)：為(wè&÷÷i)什(shén)麽呢(ne)？由于周六和(hé)周日(rì)兩天休市(shì)™∑☆<，周一(yī)較前一(yī)個(gè)交易日(rì)（通(tōng)常為×ε(wèi)上(shàng)周五）之間(jiān)隔了(le)兩個(g£βγè)休息日(rì)。與此相(xiàng)對(duì)應的(de)是☆α✔(shì)，周內(nèi)的(de)其他(tā)日(rì)子(zǐ)中較≥≈'®前一(yī)個(gè)交易日(rì)僅有(yǒu)一(yī)個(gè)÷ ¥隔夜。顯然，兩個(gè)休息日(rì)比一(yī)個(gè)隔夜←♠€有(yǒu)更大(dà)的(de)可(kě)能(n✔‍​​éng)性産生(shēng)新的(de)消息（不(bù)管是(s↔φ©​hì)正面消息還(hái)是(shì)負面消息©ε、不(bù)管是(shì)公司的(de)消息還(hái)是(s≈$hì)監管的(de)消息），這(zhè)就(jiù)造成了(leπ ≠)周一(yī)較其他(tā)交易日(rì)有(yǒu)更大(dà₽♦)的(de)不(bù)确定性。這(zhè)個(gè)高(gāo)不(bù)确®λ€©定性正是(shì)星期一(yī)高(gāo)波動∏∞÷☆率的(de)來(lái)源。高(gāo)不(bù)确定導緻投資者以下(xià)四種行α©(xíng)為(wèi)：

這(zhè)些(xiē)投資者行(xíng)為(←↓'±wèi)的(de)綜合作(zuò)用(yòng)貢獻了γσ¥δ(le)周一(yī)的(de)高(gāo)波動率。

3 周內(nèi)日(rì)收益率的(de)負♣♣✔相(xiàng)關

接下(xià)來(lái)看(kàn)看(kàn)“周收益率”的(de)情況。¥∑這(zhè)裡(lǐ)，我們不(bù)局限于傳統日(rì)曆周的>☆£δ(de)概念；把周收益率定義為(wèi)連續五個(gè©Ω)交易日(rì)的(de)收益率。在這(zhè)種定♥÷∑義下(xià)産生(shēng)了(le)以下(xià)五種周收益&‍率的(de)計(jì)算(suàn)方式：

顯然，除了(le)第一(yī)種傳統的(de)日(rì)曆周‌✔≥定義，在其他(tā)的(de)四種定義下(xià€$)，它們包含的(de)五個(gè)交易日(rì↓✘ )都(dōu)是(shì)跨周的(de)。那(nà)麽，不(bù)同的(de)<≤&"定義對(duì)周收益率的(de)波動率有(yǒu)什 ✘↑(shén)麽影(yǐng)響呢(ne)？回答(dá)這(zh≈₹ è)個(gè)問(wèn)題對(duì)于周頻(pínπ↔"•)交易的(de)量化(huà)策略非常有(yǒu)用(₩™yòng)。我們仍然考慮對(duì)數(shù)收益☆‍↔γ率，因此周對(duì)數(shù)收益率等于這(zhè)五個(gè)交←↓δ易日(rì)對(duì)數(shù)收益‌♦率之和(hé)，即：

周對(duì)數(shù)收益率的(de)波動率，即方♣↑差，可(kě)以寫成日(rì)對(duì)數(shù)收益率™λ→φ方差和(hé)協方差的(de)和(hé)：

不(bù)論是(shì)否跨周，在這(zhè∏Ω™✔)五種定義中，周一(yī)到(dào)周五均出現(x∞€→iàn)（且僅出現(xiàn)）了(le)一(yī)次。因此，上(shàng)σ♦ε∞式中的(de)前五項對(duì)于這(zhè)五種計(jì)算(∏£"♣suàn)方式來(lái)說(shuō)是(shì)相(xiàng)同的(de±≈ ')。所以，如(rú)果周對(duì)數(shù)收益率的(de)波動率在這↔σ(zhè)五種定義下(xià)不(bù)同，那(nà)一(yβ&λī)定是(shì)日(rì)對(duì)數(shù)收益率的(d★♠e)協方差在這(zhè)五種定義下(xià)不(bù)同λ​®π。結果是(shì)不(bù)是(shì)如(rú•↔​)此呢(ne)？先看(kàn)數(shù)字。在這(zhè)五種定一(yσ←ī)下(xià)，周對(duì)數(shù)收益率的(de)标準差分(fēn₹"‍↕)别為(wèi)：

從(cóng)數(shù)值上(shàng)來(l&∑↔∞ái)看(kàn)，在傳統日(rì)曆周的(de)定義下(xià)，周對(Ω♠γduì)數(shù)收益率的(de)标準差最低(dī)。為(wèi)此，我們有(yǒu)兩個(gè)猜想：

從(cóng)這(zhè)兩個(gè)猜想出發，不(b€₩₽ ù)難寫出這(zhè)五種定義下(xià)，五個(gè)交易日(rì)的(d↓↑₹e)協方差矩陣（把協方差矩陣中的(de)所有(yǒu)"©σε項相(xiàng)加就(jiù)等于上(shàng)面那(nà)個(gè)£∏∞波動率的(de)式子(zǐ)，即得(de)÷÷λ到(dào)周對(duì)數(shù)收益率的 ©§♦(de)波動率）。

定義 1 ——上(shàng)周五收盤到(dào)本周五收盤（≤​傳統的(de)日(rì)曆周）——的(de)協方差矩✘≤™陣如(rú)下(xià)。為(wèi)方便說(shuō)明(míng)，M、T"☆®γ、W、R、F 分(fēn)别代表周一(yī)、周二、周三、周四和(hé∏£>)周五。矩陣中的(de)對(duì)角線上(shàng)的(de)→Ω☆♣元素為(wèi)方差項，非對(duì)角線上(shàng←₽≥ )的(de)元素——以 X 表示——代表非零的(de)÷>協方差項。根據猜想一(yī)，某些(xiē) X 的(de)數(shù★≠')值為(wèi)負數(shù)。

定義 2 ——本周一(yī)收盤到(dào)₩≥↕下(xià)周一(yī)收盤——的(de)協方差矩陣如(∏≈rú)下(xià)。由于這(zhè)裡(lǐ)出現(xiàn)了(le♠λ±↓)跨周，因此我們在下(xià)周一(yī)的(de)>®★符号M上(shàng)加上(shàng)一(yī)個(gè) ~ 标→α↑記，說(shuō)明(míng)它和(hé)之前的(de) T、±¶"×W、R、F 來(lái)自(zì)不(bù)同的(de)周。同₹≈ 一(yī)周內(nèi)的(de)交易日(rì)之間(jiāδ€₹n)仍然存在非零的(de)協方差；但(dàn)根據猜想二，屬于不(bù)同₩¥↕周的(de)交易日(rì)之間(jiān)協方差為(wèi)零，¶§Ω協方差矩陣中的(de)紅(hóng)色的(de)數(s↕↔hù)字零正來(lái)自(zì)這(z★>δπhè)個(gè)猜想。為(wèi)了(le)更清晰的(de)表達，我們索性把 ₩¥0 隐去(qù)，因此最終的(de)協方差矩陣如(rú×π♥‌)下(xià)圖中最下(xià)方那(nà)個(gè)簡化(huà)版★₽¶所示。

以此類推，可(kě)以寫出後面三個(gè)定義下('ε♦★xià)的(de)協方差矩陣：

根據猜想二，在所有(yǒu)跨周的(de)定義↕φ 中，協方差矩陣中都(dōu)有(yǒu)一(yī)些(xiē)元素為(wα∏∑èi)零。與之相(xiàng)反的(de)是(shì)™♦&，在定義 1 中，由于五天來(lái)自(zì)同 ¥•∑一(yī)周而根據猜想一(yī)它們之間(jiān)存在負相(λ​Ωxiàng)關。因此，比較這(zhè)五個(gè)協方'↕<差矩陣可(kě)以得(de)到(dào)如(rú)下(xγ ★ià)推論：

我們可(kě)以通(tōng)過數(shù)據來(lái)驗證猜想一(yī)。₩λ下(xià)表為(wèi)同一(yī)周內(←♥₹nèi)不(bù)同日(rì)對(duì)數(shù)收益率之間(j₽↔‌±iān)的(de)相(xiàng)關系數(shù)，可(kě)見(jià¥₽n)确實存在負相(xiàng)關，且周一(yī)和λπα(hé)周三、周二和(hé)周三、以及周三和(hé)周四之間(jπ≤iān)的(de)負相(xiàng)關都(dōu)不(bù)低(dī)。另∑♣‍外(wài)周一(yī)和(hé)周二之間(jiān)也ε↑≥(yě)存在負相(xiàng)關。

這(zhè)其實不(bù)難理(lǐ)解。∑ &>正如(rú)前面所說(shuō)，周一(yī)←™的(de)高(gāo)波動率一(yī)定程度上(shàng)≥ ←源自(zì)市(shì)場(chǎng)對 α(duì)周末消息的(de)過度解讀(dú)。π'當市(shì)場(chǎng)冷(lěng§<§​)靜(jìng)下(xià)來(lái)後，則會(huì)出現(xià•≥•n)和(hé)周一(yī)相(xiàng)反的(de)✘≥λ收益率，造成周二和(hé)周三在一(yī)定程度上(shàng)和♣ ₹(hé)周一(yī)的(de)收益率負相(xiàng<δ)關。

對(duì)于一(yī)個(gè)周頻(pín)策略≥♠¥，它的(de)核心就(jiù)是(shì)想過β≠濾掉更高(gāo)頻(pín)率的(de)噪聲。從(c<>ΩΩóng)這(zhè)個(gè)意義上(shàng)說(sh✔£Ωuō)，同一(yī)周內(nèi)日(rì↑÷)收益率之間(jiān)的(de)負相(>→↕δxiàng)關是(shì)非常有(yǒu)利的(de)。因此，對(du‍÷ì)于周頻(pín)策略，使用(yòng)傳統的(de)日(rì)曆周定義來™ •(lái)計(jì)算(suàn)周收益λ₽率是(shì)恰當的(de)。

4 其他(tā)指數(shù)上(shàng)的(de)實證

以上(shàng)分(fēn)析都(dōu)是(shì)以上(s®€★hàng)證指數(shù)為(wèi)标的(de)進行(xíng)的(de)。↔★最後我們再來(lái)看(kàn)看(kàn)以上(shàngβ')證 50、深圳成指、以及創業(yè)闆指數(shù)為(wèi)标的(d®↓<e)的(de)結果。

上(shàng)證 50：

深圳成指：

創業(yè)闆：

結果表明(míng)，這(zhè)幾個(gè)指數(shù)也÷¥®α(yě)都(dōu)基本滿足上(shàng)面的(d‌ε≠∞e)兩個(gè)現(xiàn)象，即周一(yī)的(de♠‍)波動率最高(gāo)，以及按照(zhào)日(rì)曆周計(jì)算∑×₹✘(suàn)的(de)周收益率的(de)波動率最低(dī)。唯一(yī)"¥∞☆的(de)例外(wài)是(shì)上(shàng)證 ↕∏¶✘50。它按日(rì)曆周計(jì)算(suàn)的(de)波動率并不(bΩ∑ù)是(shì)五種定義下(xià)最低(dī)的(de)。但(dàn)是¥§​(shì)考慮到(dào)樣本誤差，以及它和(hé)最≥≈低(dī)值之間(jiān)的(de)細微(wēi£ )差别，這(zhè)個(gè)結果并不(bù)會(huì)改變本文(wén)的‌£(de)結論。

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下(xδ§ià)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息及數≥'(shù)據或所表述的(de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)≤≈δ任何人(rén)的(de)投資建議(yì)。在任何情況下Ω>(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所↑±屬機(jī)構不(bù)對(duì)任何人(rén)因使Ω​ε用(yòng)本文(wén)的(de)任何α∑Ω內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負任何責任。除特别說('"shuō)明(míng)外(wài)，文(wén)₹♠中圖表均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàng)應‌¥¶♥論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原作(zuò♠>™)者和(hé)期刊所有(yǒu)。