PCA 的(de)源起、中興和(hé)未來(lái)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：PCA 及其各種變化(huà)已成為(wèi)估計(jì)隐性因✔★ 子(zǐ)模型的(de)利器(qì)。本文(wén)帶你(nǐ)了&‍(le)解實證資産定價領域中 PCA 的(de)≈£÷源起，中興和(hé)未來(lái)。

1 源起

APT (Ross 1976) 指出資産收益率和(hé)因子(zǐ)之間(jiān>★↔)的(de)線性結構。根據定義，我們可(kě)以把資産協方差矩陣用(yòn'δγΩg)因子(zǐ)暴露和(hé)因子(zǐ)溢價的(de)協方差矩陣表示，即<>≤✔：

其中  、  以及  分(fēn)别為(wèi)資産協方差矩陣、因子(zǐ)協方γ•∑差矩陣和(hé)随機(jī)擾動的(de©∞)協方差矩陣；  是(shì)因子(zǐ)暴露。Ross (19↑✘76) 假設不(bù)同資産的(de)随機(jī)擾動不(α★♥bù)相(xiàng)關，因此  為(wèi)對(duì)角陣。滿足該條件(j±§₩÷iàn)的(de)因子(zǐ)模型被稱為(wèi)嚴格的(de)Ω∏≤因子(zǐ)模型（exact factor model）。

上(shàng)式意味著(zhe)因子(zǐ)的(de)協方✘&差應能(néng)解釋資産協方差的(de)一(yī)®Ω←♦大(dà)部分(fēn)。因此，我們也(yě)↑π®可(kě)以從(cóng)資産的(de)協方§•λ差矩陣出發來(lái)估計(jì)隐性（latent）因子(zǐ) ∑♣∏和(hé)相(xiàng)應的(de)因子(zǐ)暴露。談到(dào)₽λ分(fēn)析協方差矩陣，最直接的(de)是(sε→∑↑hì)因子(zǐ)分(fēn)析（fac"♥πtor analysis）。Roll and•γ♥ Ross (1980) 通(tōng)過這(zhè)種方法¥≈✘分(fēn)析了(le)早年(nián)的(de)美(měi)股收益γ♣↔率數(shù)據并發現(xiàn)了(le)三到(dào)四個(gè)因"β子(zǐ)，它們在一(yī)定程度上(shàng)成功的(de)解釋了(le±πδ )資産的(de)預期收益率。

之後，Chamberlain and R≠™othschild (1983) 放(fàn ♥g)松了(le) Ross 關于  的(de)假設，允許随機(jī)擾動之間(jiān)φ♦弱相(xiàng)關，并由此得(de)到(ε☆dào)了(le)近(jìn)似的(de)因子(zǐ)模型（approxim∞>↓ate factor model）。對(duì)于該模型，他(tā)們指出α₽¥<用(yòng) PCA 代替因子(zǐ)分(fēn)析可(kě)以得(d↔₽≈‍e)到(dào)同樣的(de)結果。另外(wài)，ConnΩ£λor and Korajczyk (1986,1988) 提出了δ±(le)當截面（cross-section）上(sh÷'↓δàng)資産個(gè)數(shù)增大(dà)時✘ ↔(shí)的(de)漸近(jìn)主成分(fēn)分(fēn)析（€↓±asymptotic principal components）。•¶φ↕這(zhè)些(xiē)研究一(yī)舉奠定用(yòng) PCα∑σA 研究隐性因子(zǐ)或統計(jì)因子(zǐ)（statistical ™✘¥factor）的(de)基礎。

然而在實證方面，應用(yòng) PCA 卻并沒" €有(yǒu)那(nà)麽順利。Connor and Korajcz∏•yk (1988) 最早使用(yòng)大(dà)約 1500 支股票σ→(piào)研究了(le)隐性因子(zǐ)模 ♠型的(de)表現(xiàn)。結果顯示，盡<∏←→管基于 PCA 的(de)因子(zǐ)模型比起£© CAPM 模型更能(néng)解釋樣本中的(de)風(fēng)險和(hé)收益率，但(dà€€₹™n)定價誤差依然非常顯著。這(zhè)是(shì)因為(wèi)基于  £>PCA 估計(jì)的(de)時(shí)無條件(jiàn)（或靜(jìng↓☆₽)态）因子(zǐ)模型（即 beta 不(bù)随時(shí±λ)間(jiān)變化(huà)），而這(zhè)類模型很(hěn)難<♥$描述個(gè)股級别的(de)數(shù)據。從(cóng)那(nà♥✘®)之後，PCA 便淡出了(le)人(rén)們的(de)視(shì)線。

2 中興

近(jìn)年(nián)來(lái)，随著(zhe ♦)機(jī)器(qì)學習(xí)在實證資産定價中的(de)廣泛應用(yò &‍ng)，PCA 再次回到(dào)了(le)人(rén)們的(γ✔™&de)視(shì)線。這(zhè)一(yī)現(xiàn)象在一(yī)定程δ←​↔度上(shàng)得(de)益于三方面的(de£γ£)原因。

首先最重要(yào)的(de)原因是(shì)，盡管基于個(gè)λβ'股協方差矩陣的(de) PCA 所構造的(de)隐性因∏‌±子(zǐ)模型在描述個(gè)股面闆數(shù)據時(shí)效果不(bù)<✔₽理(lǐ)想，但(dàn)如(rú)果把 assets 換成Ω‌基于公司特征構造的(de)投資組合，然後使用↕↕(yòng)投資組合的(de)協方差矩陣作(zuò≤α)為(wèi) PCA 的(de)輸入，則得(de)到(dào)的(de)隐↕Ω性多(duō)因子(zǐ)模型能(néng)夠很(≠∞≤hěn)好(hǎo)的(de)為(wèi)這(zhè)些(↔€±≥xiē)資産定價。這(zhè)方面的(de)代表包括 Kozak, Nagel and Santosh (2018 ∑₩ , 2020)。

第二個(gè)原因是(shì)從(cóng)無條件(jiàn π♥)（靜(jìng)态）因子(zǐ)模型向條件(jiàn)（動态）因子(z∏∞↕ǐ)模型的(de)轉變，這(zhè)背後的(de)代表是(←∏↔shì) Kelly et al. (2$✘<019) 的(de)工(gōng)具變量 PCA（IPCA）模型。該模型和(hé)前述研究最大(dà)的(de)區(qū)别是(shì)将因子↓♥¶≈(zǐ)暴露 beta 視(shì)為(wèi)公司特征的(de)函數(sh‌↕≥ ù)，從(cóng)而對(duì) beta 直接建 ↕∑β模。由于公司特征是(shì)随時(shí)間(jiān)變化(huà)的(de™↑)，因此 beta 也(yě)自(zì)然就(jiù)是(shì)時(shí®♠)變的(de)。以此得(de)到(dào)的<©(de)隐性因子(zǐ)模型能(néng)夠更好(hǎ €≠o)的(de)捕捉資産收益率在時(shí)序的(de)變化(h&↑uà)以及在截面上(shàng)的(de←₹π)差異。後續一(yī)些(xiē)比較基于不(bù)同機(jī)器(qì) Ωλ學習(xí)方法所構造的(de)因子(zǐ)模型的(de)實證研究發現(x¶"♥"iàn)，IPCA 方法不(bù)輸于（甚至是(sh≥Ω ₩ì)優于）一(yī)些(xiē)更複雜(zá)的(de)非線性模型（例 $♠&如(rú)深度神經網絡）。

第三個(gè)原因是(shì)從(cóng)經濟學角≤∑'♣度對(duì)傳統 PCA 目标函數(shù)的(de)擴展，使​™ 通(tōng)過它得(de)到(dào)的(de)隐性模型有(yǒu £•¥)更好(hǎo)的(de)定價能(néng)力。 ​¶關于這(zhè)點，我們可(kě)以通(tōng)過 Lettau an§₽→d Pelger (2020a, b) 提出的(de) Risk-Premium PCA（PR-PCA）為(wèi)例來(lái)理(lǐ)解。令  表示資産的(de)超額收益率矩陣、  表示資産超額收益率時(shí)序均值向量。則傳統 PCA 是(shì)對( ≥®duì)資産的(de)（樣本）協方差矩陣，即：

來(lái)進行(xíng)。不(bù)難看(®€kàn)出，傳統 PCA 方法隻考慮了(le)收益率的(de→‍)二階矩信息，而忽視(shì)了(le)和(¶₩δhé)定價可(kě)能(néng)更為(wèi)相(xiàng)關的(de₩δ)一(yī)階矩信息。基于這(zhè)個(gè)動機(jī)，Letφ✘tau and Pelger (2020a, b) 對(¥δΩ©duì)協方差矩陣進行(xíng)了(le)變形，加入了(le)£≠一(yī)階矩信息：

并通(tōng)過參數(shù)  控制(zhì)一(yī)階矩信息的(de)強弱（當  時(shí)，上(shàng)述表達式退化(±☆huà)為(wèi)樣本協方差矩陣）。以該目标得(de)到(dào) ¥的(de)隐性因子(zǐ)模型被證明(m÷≠★$íng)在樣本外(wài)有(yǒu)更好(hǎo)的←≠₹(de)定價能(néng)力以及更高(gāo)的(γ₩εde)夏普比率。

3 未來(lái)

Lettau and Pelger (2020a, b) 的(de)研究事(s♣δ>÷hì)實上(shàng)為(wèi)進一(y↔♦♣φī)步發揮 PCA 在實證資産定價中的(↑≥de)作(zuò)用(yòng)提供了(le)一(yī)✔‍♠λ個(gè)可(kě)行(xíng)的(de)思路(δ♦€♦lù)，即人(rén)們能(néng)否通(tōng)β↔¥過經濟學指引對(duì)樣本協方差矩陣進行 ₩(xíng)其他(tā)變形，從(cóng)而更好&€♦↑(hǎo)的(de)估計(jì)隐性因子(zǐ)模型。ε≠$Bryzgalova et al. (2023) 一(yī)文(€→✘‌wén)從(cóng)時(shí)序和(hé)截面角度精彩地(dì)γ 回答(dá)了(le)這(zhè)個(g™¶è)問(wèn)題。（BTW，去(qù)年(nián)我沒在‍‌知(zhī)乎上(shàng)回答(dá) 202X 年(n♠±§¶ián)優秀的(de)金(jīn)融學論文(wén)這(zhè)個(gè)問(♠♣§✘wèn)題。如(rú)果要(yào)我來(lái≈<£≠)回答(dá)，那(nà)麽它就(jiù)是λ>(shì) Bryzgalova et al. 20÷ ​ε23）。

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)最大₽©‍(dà)的(de)價值，是(shì)提出了(le)£ δ如(rú)何在樣本協方差矩陣中納入截面或時(s&£εhí)序或 both 信息的(de)一(♦&∞®yī)個(gè)框架。在數(shù)學上(shàng)，它們均可(kě)©•以被表達為(wèi)在樣本協方差矩陣中加入相(xiàng)關∏&♥信息的(de)形式，并通(tōng)過罰參數(shù)來(lái)控制(zh•&ε≈ì)信息的(de)強弱。以截面信息為(wèi)例，我們可(kě)以對☆β♣↓(duì)如(rú)下(xià)矩陣進行(xí♣×ε↔ng) PCA：

其中  表示含有(yǒu)截面信息的(de)截面投影(yǐng)矩陣，    可(kě)以理(lǐ)解為(wèi)截面信息的(de$★δ)維數(shù)。那(nà)麽，從(cóng)經濟學先驗出發，可(kě¥ σ​)以考慮哪些(xiē)截面和(hé)時(shí)序信息呢(∏​$"ne)？

先來(lái)說(shuō)截面方面。大(dà)量÷↑€實證結果表明(míng)通(tōng)過公司γλ&™特征進行(xíng)組合排序而構造的(de)分(fē↓♥​₩n)位數(shù)投資組合的(de)收益率✘•☆往往十分(fēn)單調。因此我們自(zì)然希望這(zhè)些(xiē)投資組♣★合對(duì)于 PCA 得(de)到(dào)的(de)隐性因子λ'$∑(zǐ)的(de)暴露也(yě)是(shì)單調的(de)。我♣→們可(kě)以以此為(wèi)目标對(duì)樣本'••&協方差矩陣進行(xíng)相(xiàng ✔©→)應的(de)變形。再說(shuō)時(shí)序方面。上(shàng)一(yī)節介紹 ✔的(de) PR-PCA 已經是(shì)這(¥→¶↕zhè)方面的(de)一(yī)個(gè)特例，即它在樣γ♣α本協方差矩陣的(de)基礎上(shàng)加入了(le)不(bù)λ∑↕同資産收益率時(shí)序均值的(de)信息  。除此之外(wài)，我們還(hái)可(kě)以考慮其他(tā)的(de)♦​α¶時(shí)序信息，比如(rú)資産相(xiàng)對(duì)給定定價模型''（例如(rú) FF5）的(de)定價誤差 alpha。這(zhè)背後的(de✘™)動機(jī)是(shì)，我們希望隐性因子(zǐ)模型所估計(j​→♦ì)出的(de)因子(zǐ)，能(néng)↓β夠有(yǒu)效地(dì)對(duì)該定價模型無法解釋‌​的(de)收益率部分(fēn)定價。

從(cóng) Bryzgalova et☆§ε al. (2023) 的(de)實證結果來(lái)看(k→×àn)，加入截面或者時(shí)序信息的(de) PCA 在樣本內(∏©←nèi)、外(wài)均能(néng)獲得(de)更好(hǎo) ☆σ的(de)結果，體(tǐ)現(xiàn)為(wèi)更小(xi₹‌'£ǎo)的(de)定價誤差以及更高(gāo)的(de)夏普比率。那(nà)¥≥​麽，為(wèi)什(shén)麽加入這(zhε₽♦è)些(xiē)信息有(yǒu)助于估計(jì)出¥​更好(hǎo)的(de)因子(zǐ)呢(ne)？對(duì)于估計(jì)隐性因子(zǐ)而言，能(néng)否發現(xià♠≥n)一(yī)個(gè)因子(zǐ)的(de)>±>關鍵因素在于因子(zǐ)的(de)強度，即它能(né™≠ng)解釋資産收益率共同運動的(de)比例。這(zhè)一(yī)α Ωλ點從(cóng) PCA 的(de)結果不(bù)難理(lǐ)解：找到(dàφ© →o)的(de)因子(zǐ)對(duì)應著(zhe)特征值最大(dà)的↔→€ (de)特征向量。然而，如(rú)果一(yī)個(gè)因子(zǐ)僅能(n±↑εéng)解釋很(hěn)少(shǎo)的(de)波動，它✘♠π 就(jiù)是(shì)一(yī)個(gè)弱因子('♥zǐ)（week factor），哪怕它帶有←‍(yǒu)關于截面預期收益率差異的(de)∑€重要(yào)信息，也(yě)無法被 PCA 發現(xià♦δn)。在樣本協方差矩陣中加入截面和(hé)/或時(shí)序信息的(de)作→£σ(zuò)用(yòng)就(jiù)是(shì)為(wèi)了(le‍≠)提高(gāo)弱因子(zǐ)的(de)<‍強度。因此，盡管一(yī)個(gè)因子(zǐ)就(jiφ§α≥ù)解釋資産波動而言可(kě)能(néng)很(hěn)弱，但(dàn)是↓↓(shì)它在新加入的(de)信息方面可(kě)能(néng)很(h¥​ěn)強。通(tōng)過對(duì)協方差矩陣的(de)變形能(néng)夠€♣∞提升這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)的(de)強度，從(cóng)✔≈$±而讓它們可(kě)以被發現(xiàn)和(hé)估計('λ≈jì)。

對(duì)于不(bù)同類型的(de)&→$因子(zǐ)，加入新信息都(dōu)是(shì)有(yǒu)益的(dλ∞e)。那(nà)些(xiē)原本無法僅通(​β★tōng)過協方差矩陣檢測到(dào)的(de)弱±¶♣因子(zǐ)，現(xiàn)在可(kě)以被≈ 估計(jì)出來(lái)。那(nà)些(xiē)強度一(yī÷≤α)般的(de)因子(zǐ)（semi-weak faπ$¶∞ctors），能(néng)夠以更高(gāo)的(de)收斂率被估€↓↑計(jì)出來(lái)。而對(duì)于本來(lái)就(ji¶♦ù)能(néng)夠解釋大(dà)部分(fēn)波動的(de)強因→ε子(zǐ)而言，加入上(shàng)述信息也(yě)能(★•néng)提升它們的(de)估計(jì)效率。這(zhè)是(shì)因為(¥&≥€wèi)加入的(de)截面和(hé)時(shí)序信息包φ 含了(le)收益率的(de)一(yī)階矩信息，而如(rú→‍€)此得(de)到(dào)的(de) PCA λ 可(kě)以被視(shì)為(wèi)一(≤¥&☆yī)個(gè)矩估計(jì)量，其中通(tōng)過優化(∑♥αhuà)罰參數(shù)來(lái)權衡不(±δ✘bù)同的(de)矩信息。

Bryzgalova et al. (2023) 所提出的(de)框架的™¶☆(de)意義在于，它能(néng)夠讓人(rén)們根據自(zì₩↓α£)己的(de)目标，通(tōng)過适當的(de)經濟≤←•£學依據來(lái)引入關于隐性因子(zǐ)的(de)先驗信息，并得(d₽≈¥e)到(dào)更好(hǎo)的(de)隐εΩ性因子(zǐ)模型。它代表了(le) PC©☆A 的(de)未來(lái)。最後，讓我以 Bryzgalova et al. (2023) 自(zì)Ω‌→己的(de)話(huà)總結并結束本文(wé ¶αn)：

Our framework can be used §¶to study a broad class of various ass©☆•et-pricing restrictions related t÷♥÷o different spanning properti₩'es of the risk factors as well$γ↓≈ as shape restrictio ♦'γns on their loadings. Importantα∑ly, we do not aim to provide a single m✔→♦→ost efficient way toγ₹ recover the underlying SDF b✘σ§&y choosing “optimal” pri→>ors. Instead, we allow the resea∑↓¶rcher to specify dif®Ωferent types of restrictions§ε consistent with both struc↑ λtural and reduced-for→™♦‍m insights about the♠₹ cross-section of asset returns and r≤±isk factors that drive it.

參考文(wén)獻

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