Augmented Fama-MacBeth Re∞§gression (II)

發布時(shí)間(jiān)：2023-09-04 | ✔γ 來(lái)源: 川總寫量化(huà)

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：加強版 Fama-MacBeth Regression 是(s♣§≤hì)研究 non-tradable/tradable factor φ$₩÷的(de)利器(qì)。

因子(zǐ)有(yǒu) tradable fact₽♠ors 和(hé) non-tradable factors 之分(fēn)€‌₹。對(duì)于前者而言，常見(jiàn)的(de)做(zuò)法是(s± hì)直接用(yòng)公司特征構造 managed portfolio∏®¥s；而對(duì)于後者，Fama-MacBeth two-pas←±s regression 往往是(shì)首選，即在第一(yī)步中在時(s₽ασhí)序上(shàng)用(yòng)資産（超額）收益率對(duì)¥∞因子(zǐ)取值回歸來(lái)估計(jì) $\beta$ ，第二步中每期在截面上(shàng)用(yòng)資産（超額）收益率$↔對(duì) $\beta$ 回歸估計(jì)因子(zǐ)溢價。不(b ✔ù)過由于遺漏變量和(hé)測量誤差的(de)'∏"÷問(wèn)題，FM regression 得(de)到(dào)的®®(de)溢價估計(jì)往往并不(bù)準确。

為(wèi)了(le)解決這(zhè)個(♦∑→gè)困境，前文(wén)《Augmented Fama-MacBeth Regression》介紹了(le) Bybee, Kelly and Su (fo☆∑πrthcoming) 如(rú)何估計(jì) non-tradable >"±factors 的(de)溢價。該文(wén)提出了(le) Fama-MΩ"γacBeth regression + IPCA + ★£Sparsity + OOS SR based ×©tuning 框架。今天我們來(lái)看(kà $n)看(kàn)這(zhè)個(gè)系列的(de)第二彈。今天這(zhè)篇文(wén)章(zhān¶∏↓g)要(yào)介紹的(de)是(shì) Giglio and Xiu (¶•↔2021)。需要(yào)說(shuō)÷Ω 明(míng)的(de)是(shì)，該文(wén&ε)提出的(de) three-pass estimator 既可(k£§ě)以用(yòng)于 non-tradable factor÷≠÷s 也(yě)可(kě)以用(yòng)于 tradable αλfactors。本文(wén)最後會(huì)用(yòng) A 股£≈↓的(de)一(yī)系列動量因子(zǐ)（tradπ↓ able factors）做(zuò)簡單¥φ實證。

對(duì)傳統的(de) two-pass estimator 而言，遺∞ ≈∏漏變量（模型中遺漏了(le)重要(yào)的(de)解釋變量）← •是(shì)最重要(yào)的(de)問(wèn)題之一(←★yī)。遺漏變量問(wèn)題導緻因子(zǐ)溢價的(de)估計(jì)存在偏↓♣差且偏差的(de)方向可(kě)正可(kě)負。以下(xi↑π←♣à)面這(zhè)個(gè)簡單的(de)‌✘ ≈模型為(wèi)例，假設 $y$ 和(hé) $x_1$ 、 $x_2$ 滿足如(rú)下(xià)線性回歸模型：

$\displaystyle y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+u.$

假設模型遺漏了(le) $x_2$ 。令 $y$ 對(duì) $x_1$ 回歸，并通(tōng)過 OLS 估計(jì↔ >>)。計(jì)量經濟學知(zhī)識指出， $x_1$ 的(de)回歸系數(shù)的(de)偏差如(rú)→¶‌下(xià)：

$\displaystyle \mbox{bias}(\tilde\beta_1)=\mbox{E}[\tilde\beta_1]-\beta_1=\beta_2\tilde\delta_1,$

式中 $\beta_2$ 是(shì)真實模型中 $y$ 對(duì) $x_2$ 的(de)回歸系數(shù)， $\delta_1$ 是(shì) $x_2$ 對(duì) $x_1$ 的(de)回歸系數(shù)。上(shàng)式說(shuō)≈←₩明(míng)， $\beta_1$ 的(de)偏差由 $\beta_2$ 和(hé) $\delta_1$ 共同決定，它的(de)符号受這(zhè)兩部分(f∑♦•ēn)的(de)影(yǐng)響。遺漏變量的(de)存在使≈♦π÷得(de)因子(zǐ)溢價的(de)估計(jì)有(yǒu)偏£←∏€（biased），即遺漏變量偏差（omitt'$¶ed variable bias）。回到(dào) two-pass estimator。遺♦✔漏變量問(wèn)題的(de)存在意味著(zhe)，當我們進行(xí£‍✘ng)第二步截面回歸時(shí)，目标因子(zǐ)溢價的(de)✔λ估計(jì)取決于模型中是(shì)否含有(yǒu)遺漏變量。因此，當使用(♦σ•yòng)不(bù)同的(de)控制(zhì)變量時(shí)（例‌↕β♦如(rú) FF3 的(de)三因子(zǐ)，或☆δ其他(tā)常見(jiàn)的(de)風(fēng)•π§險因子(zǐ)），目标因子(zǐ)的(de)溢價估計(jì)值往往← 會(huì)出現(xiàn)很(hěn)大(dà)的(de)差異。（思細≥∏♣級恐一(yī)下(xià)，如(rú)果有(yǒu)人(rσ↓αén)通(tōng)過控制(zhì)變量來(★↑≠÷lái)控制(zhì)目标因子(zǐ)溢價估計(jì)的(de)顯著♦→λ性甚至是(shì)符号，是(shì)不(bù)是(shì)很(hěn&™)可(kě)怕。）

從(cóng)上(shàng)面分(fēn)析可(kě)知(zhīλ♠π )，如(rú)果想要(yào)準确估計(jì)因子(zǐ)溢價，就(jiù)必>δ©δ須想辦法應對(duì)遺漏變量問(wèn)題。Giglio and Xiu (2021) 通(tōng)過隐性因子∑(zǐ)模型框架并利用(yòng)線性多(d₽ε↕€uō)因子(zǐ)模型的(de)旋轉不(bù)變性巧妙的•♥(de)解決了(le)這(zhè)個(gè)問(wèn)∞≥題。下(xià)面就(jiù)讓我們來(lái)上(shàng)點 πφΩmath 并輔以直覺解釋。考慮資産超額收益率 $r_t$ 滿足如(rú)下(xià)（隐性）多(duō)因子(zǐ)模λ±β↑型（假設因子(zǐ)個(gè)數(shù)為(wèi) $p$ ）：

$\displaystyle r_t=\beta\gamma+\beta\nu_t+u_t~~~~~~(1)$

其中 $\gamma$ 是(shì)因子(zǐ)的(de)溢價、 $v_t$ 是(shì)因子(zǐ)的(de) innovation✔¶★s（滿足 $\mathbb{E}[v_t]=0$ ）， $u_t$ 為(wèi)随機(jī)擾動（滿足 $\mathbb{E}[u_t]=0$ ， $\mbox{Cov}(u_t,v_t)=0$ ）， $\beta$ 為(wèi)因子(zǐ)暴露。（插一(yī)句，通(tōng)∞γ常我們用(yòng)非零均值的(de) $f_t$ 表示因子(zǐ)并用(yòng) $\gamma=\mathbb{E}[f_t]$ 表示因子(zǐ)溢價。上(shàng)述表示隻不(bù)過是(♥♠shì)将 $f_t$ 拆成了(le) $\gamma$ 和(hé) innovation 兩部分(fēn)。）

Giglio and Xiu (2021) 的(de)目标是(shì)≠♦ 通(tōng)過隐性多(duō)因子(zǐ)模型 (1) 來(l‌β®γái)估計(jì)任意因子(zǐ)（特别是(shì) non-t↓‌radable 因子(zǐ)）的(de)溢價。令 $g_t$ 表示 $d$ 個(gè)可(kě)觀測因子(zǐ)（tradable 或者 non-t≈♣radable）的(de)取值，并假設 $g_t$ 和(hé)隐性因子(zǐ) $v_t$ 滿足如(rú)下(xià)關系：

$g_t=\delta+\eta v_t+z_t~~~~~~(2)$

其中 $\eta$ 為(wèi) $g_t$ 對(duì)隐性因子(zǐ) $v_t$ 的(de)暴露， $z_t$ 表示測量誤差（if any；BTW，Giglio and Xiu☆₽" 2021 的(de)方法也(yě)可(kě)以應對(duì)度量誤ε±差問(wèn)題，但(dàn)本文(wén)>∏≤★未做(zuò)介紹）， $\delta$ （對(duì)于 non-tradable 因子(zǐ)而言）表示和(≠∑hé)其溢價無關的(de)常數(shù)項。

我們的(de)目标是(shì)通(tōng)過 (1) §'★和(hé) (2) 來(lái)估計(jì) $g_t$ 的(de)因子(zǐ)溢價，在上(shà®☆ng)述模型下(xià)，其因子(zǐ)溢價為(wèλ←i)

$\gamma_g=\eta\gamma,$

即 $g_t$ 的(de)因子(zǐ)溢價由 $g_t$ 對(duì)隐性因子(zǐ)的(de)暴露和(hé)隐性因子∏≥(zǐ)的(de)溢價決定。也(yě)許有(yǒu"§)的(de)小(xiǎo)夥伴可(kě)能(néng)會(huì)問(wènπ ∑)，式 (2) 中并沒有(yǒu)出現(xiàn)隐性因子(zǐ)的(de)溢☆↔‍價 $\gamma$ ，那(nà)麽 $\gamma_g=\eta\gamma$ 應如(rú)何理(lǐ)解呢(ne)？這(zhè)✘♦裡(lǐ)的(de)直覺解釋（這(zhè)部分(fēn)特别感謝( ±xiè)修老(lǎo)師(shī)的(de)點撥）是(shì)， $g_t$ 的(de)因子(zǐ)溢價是(shì)對(duì)風(fēng)險的(↕♣≈≈de)補償，而 $g_t$ 的(de)風(fēng)險由其對(duì)隐性因子(zǐ)的(de)暴露，即™ ©☆ $\eta v_t$ 決定，因此 $g_t$ 的(de)風(fēng)險補償（即 $\gamma_g$ ）是(shì) $\eta\gamma$ 。一(yī)般而言， $\gamma$ 不(bù)一(yī)定出現(xiàn)在 $g_t$ 的(de)表達式 (2) 裡(lǐ)。比如(rú)，如(rú)果 $g_t$ 本身(shēn)是(shì) non-tra€‍dable 因子(zǐ)，例如(rú) GDP grow×₽∏φth，它的(de) DGP 應該由和(hé) GDP 相(xiàng)關的(d→ e)東(dōng)西(xī)驅動，而不(b™ "ù)應該有(yǒu)其風(fēng)險溢價（其風(fēng♣✔)險溢價可(kě)通(tōng)過構造其 m↕₽™÷imicking portfolio，即對(duì)于該因子(zǐλ ∞γ)有(yǒu)一(yī)個(gè)單位的(de)暴露，對(duì)₩∞≤于任何别的(de)因子(zǐ)無暴露的(₹♣¶®de)投資組合）來(lái)确定；隻有(yǒu)當 $g_t$ 是(shì) tradable 因子(zǐ)時(shí)，其風(★•↑≠fēng)險溢價才應出現(xiàn)在其 DGP 裡(lǐ )。

Okay！再回到(dào)我們的(de)論述。

依上(shàng)述說(shuō)明(míng)，我們隻要(y♠★ào)知(zhī)道(dào) $\eta$ 和(hé) $\gamma$ ，就(jiù)可(kě)以通(tōng)過 $\gamma_g=\eta\gamma$ 計(jì)算(suàn) $g_t$ 的(de)因子(zǐ)溢價。然而，不(bù)要(yào)♠βα忘了(le)，在隐性因子(zǐ)模型中，因子(zǐ) $v_t$ 是(shì)不(bù)可(kě)觀測的(de)，因而無∑★♥論 $\eta$ 還(hái)是(shì) $\gamma$ 都(dōu)是(shì)不(bù)可(kě)識别的(de)。那(n∞≤à)麽，是(shì)否意味著(zhe)我們走到ε♠(dào)死胡同呢(ne)？答(dá)案是(shì)否定的(₹Ωφde)。因為(wèi)我們可(kě)以繞過分(fēn)别計(jì)算(suàn) $\eta$ 和(hé) $\gamma$ 而直接估計(jì) $\eta\gamma$ 。之所以能(néng)夠實現(xiàn)上(shàng)述計(jì)算(suàn₩ )的(de)關鍵是(shì)線性多(duō)因子(zǐ)模型的(de)旋轉不(bù)變性（rotation♠☆> invariance）。它指的(de)是(shì)，哪怕 $v_t$ 無法觀測，但(dàn)隻要(yào)我們能(n≈σ©₩éng)夠觀測到(dào) $v_t$ 的(de)某個(gè)滿秩旋轉（full-rank rotation）®™♦♠，那(nà)麽就(jiù)可(kě)以直接估計(jì)出 $\eta\gamma$ 。

在數(shù)學上(shàng)，假設我們觀測到(dào) $v_t$ 的(de)某個(gè)滿秩旋轉 $\hat v_t=Hv_t$ （ $H$ 為(wèi) $p$ 維滿秩方陣，注意，這(zhè)裡(lǐ)♦₩σ≥并不(bù)要(yào)求 $H$ 是(shì)可(kě)觀測的(de)，隻要(yào)能(né ₹ng)觀測到(dào) $\hat v_t$ 即可(kě)）。為(wèi)了(le)理(lǐ)解旋轉不(bù)變形®•♠€，将式 (1) 和(hé) (2) 改寫為(×®'wèi)

$\displaystyle r_t=\beta H^{-1}H\gamma+\beta H^{-1}Hv_t+u_t,$

$\displaystyle g_t=\delta+\eta H^{-1}H v_t+z_t.$

接下(xià)來(lái)，定義 $\hat\eta:=\eta H^{-1}$ ， $\hat\gamma:=H\gamma$ 以及 $\hat\beta:=\beta H^{-1}$ 。利用(yòng)新定義的(de)三個(gè)變量，我們可(←'¥kě)以通(tōng)過旋轉後的(de)因子(zǐ)←¥ $\hat v_t$ 來(lái)改寫 (1) 和(hé) (2)

$\displaystyle r_t=\hat\beta\hat\gamma+\hat\beta\hat v_t+u_t,~~~~~~(3)$

$\displaystyle g_t=\delta+\hat\eta\hat v_t+z_t.~~~~~~(4)$

由 (3) 和(hé) (4) 可(kě)知(zhπ€←ī)，隻要(yào) $\hat v_t$ 可(kě)觀測，那(nà)麽我們就(jiù)可(kě¶φ£)以通(tōng)過 $g_t$ 對(duì) $\hat v_t$ 時(shí)序回歸得(de)到(dào) $\hat\eta$ ；并通(tōng)過截面回歸得(de)到♣★(dào) $\hat\gamma$ （i.e., 把 test assets 的(d€™¶e)平均收益率對(duì)它們對(duì) $\hat v_t$ 的(de)暴露進行(xíng)截面回歸）。一₩(yī)旦有(yǒu)了(le) $\hat\eta$ 以及 $\hat\gamma$ ，利用(yòng)旋轉不(bù)變性就(jiù)能(néng)最終得(de)↓φ到(dào)我們關心的(de)因子(zǐ)溢價 $\gamma_g$ ：

$\displaystyle\hat\eta\hat\gamma=\eta H^{-1}H\gamma=\eta\gamma=\gamma_g.$

在隐性多(duō)因子(zǐ)模型下(xià)，一(yī)γ☆>旦有(yǒu)了(le) $\hat v_t$ ，就(jiù)可(kě)以利用(yòn∞✘‍€g)旋轉不(bù)變性得(de)到(dào) $\gamma_g$ 。為(wèi)了(le)得(de)到(dào) $\hat v_t$ ，一(yī)個(gè)自(zì)然而然的(de)選™♥擇是(shì)使用(yòng) PCA。隻要(yàΩ××o)隐性因子(zǐ)足夠強（可(kě)以理(lǐ)解為(wèi)因子(zǐ)與♠"股票(piào)有(yǒu)較強的(de)截面相(xià✔→πng)關性），PCA 總可(kě)以複原對(duì)因子(z± ǐ)空(kōng)間(jiān)的(de)某個(gè)旋轉變‍₩®換（Bai 2003）。基于此假設，我們就(jiù)可(kě)以利用(§®♠yòng) PCA 得(de)到(dào) $\hat v_t$ ，從(cóng)而實現(xiàn)整個(gè)方法¶≥Ω論的(de)閉環。

本節正式陳述 Giglio and Xiu (2021) 提出的(de)因子 γ(zǐ)溢價估計(jì)量。由于他(tā)們在 two-pass 的(de↔↑)基礎上(shàng)加上(shàng)了(l‍≠π÷e) PCA，因此該估計(jì)量是(sα≈hì)一(yī)個(gè) three-pass estimato≤'φ$r，也(yě)被稱為(wèi) PCA-augmented FM regr£δession estimator。為(wèi)了(le)介紹數(shù€δπ)學公式，定義如(rú)下(xià)：

$R：n\times T$ 維超額收益率矩陣（ $n$ 是(shì)資産個(gè)數(shù)δ γ≠， $T$ 是(shì)期數(shù)）；

$V：p\times T$ 維因子(zǐ)矩陣（ $p$ 是(shì)隐性因子(zǐ)個(gè)數(‌≈shù)）；

$G：d\times T$ 維目标因子(zǐ)矩陣（ $d$ 是(shì)待估計(jì)因子(zǐ)個(Ω ✘gè)數(shù)）；

$U：n\times T$ 維随機(jī)擾動矩陣；

$Z：d\times T$ 維測量誤差矩陣。

此外(wài)，定義 $\bar R$ ， $\bar V$ 、 $\bar G$ 、 $\bar U$ 以及 $\bar Z$ 分(fēn)别為(wèi)上(shàng)述矩©★δ陣的(de)時(shí)序去(qù)均值版本。利用(yòng>×)上(shàng)述變量，three-pass estimator 的(de ♦ )三步驟如(rú)下(xià)：

Step 1, PCA：

對(duì)矩陣 $n^{-1}T^{-1}\bar R^\prime\bar R$ 進行(xíng) PCA，得(de)到(dào)

$\displaystyle\hat V=T^{1/2}(\xi_1: \xi_2:\cdots: \xi_p)^\prime, \displaystyle\hat\beta=T^{-1}\bar R\hat V^{\prime}.$

其中 $\xi_i$ 表示前 $p$ 個(gè)特征值最大(dà)的(de)特 §☆征向量； $(\xi_1: \xi_2:\cdots: \xi_p)$ 表示将這(zhè)些(xiē)特征向量按列聚合。

Step 2, Cross-sectional regression：

将 $n$ 個(gè)資産的(de)收益率時(shí)序均值（向量記為(wèi)¥♣✔ $\bar r$ ，注意它和(hé) demean 之後的(de) $\bar R$ 不(bù)是(shì)一(yī)回事(shì)兒(ér‍↔<)）對(duì)第一(yī)步得(de)到(dào)的(‍±↑de) $\hat\beta$ 截面回歸，得(de)到(dào)隐性因子(zǐ)的(de)∞♣"溢價估計(jì)

$\displaystyle\hat\gamma=\left(\hat\beta^\prime\hat\beta\right)^{-1}\hat\beta^\prime\bar r.$

Step 3, Time-series π₩regression：

将目标因子(zǐ) $g_t$ 對(duì)通(tōng)過 PCA 得(de)到(dào)的(d$₽e)隐性因子(zǐ)進行(xíng)時(shí)序回歸，得(de)®™到(dào)因子(zǐ)暴露

$\displaystyle\hat\eta=\bar G\hat V^\prime\left(\hat V\hat V^\prime\right)^{-1}.$

最後，利用(yòng)第二步和(hé)第三步分(fēn)别得(de)‌<☆↑到(dào)的(de) $\hat\gamma$ 和(hé) $\hat\eta$ 計(jì)算(suàn)因子(zǐ)溢價 $\hat\gamma_g=\hat\eta\hat\gamma$ 。以上(shàng)就(jiù)是(shì)關于 three-pass esti"€σmator 的(de)介紹。關于該估計(jì)量•≤βα更多(duō)的(de)說(shuō)明(míng)、數(shù)學推導以及↑>漸近(jìn)性質，請(qǐng)參考論文(‍ wén)原文(wén)。

在實證中，為(wèi)了(le)使用(yòng)該估計(jì)量，我→€‌γ們需要(yào)選定用(yòng)于第一(yī)步 PCA 以及δ‍第二步截面回歸的(de) test assets。這(zhè)裡(lǐ✔¥)一(yī)般選擇 managed portfolios 比個(gè)股∏δ¥ 要(yào)更好(hǎo)（因為(wèi)對(dα§>σuì) managed portfolios 做(z ≈¶uò) PCA 要(yào)比對(duì)個(gè)股$π€‌做(zuò)穩定的(de)多(duō)）。在 Giglio and ↑"Xiu (2021) 的(de)實證研究中，二★ 位作(zuò)者使用(yòng)了(le)來↓'(lái)自(zì)不(bù)同大(dà)類資産的(de) 647 個(←<gè)投資組合作(zuò)為(wèi) test assets。

在本節的(de)簡單實證中，我使用(yòng) BetaPlus ∑γ小(xiǎo)組基于常見(jiàn)協變量、針對(duì) A 股€‌構造的(de) 150 個(gè)投資組合作(zuò)為(wèi←↔) test assets（實證周期是(shì)&€ 2006/01/01 到(dào) 2021/05/31；實λσ證中選擇前 10 個(gè)主成分(fēn)）。而對(duì)于待₹↑±估計(jì)溢價的(de)因子(zǐ) $g_t$ ，則選擇了(le)一(yī)系列動量因子(zǐ)，包₩®≈∞括總收益動量、52 周高(gāo)點距離(lí)、動量加速↔§度、特質性動量、累計(jì)異常收益率、阿爾法&∑→動量、左尾動量以及相(xiàng)似動量。由于這(zhè)些(xiē)都(dōu)是(φ™shì) traded factors，因♥$λ≥此通(tōng)過 portfolio sort 構造因子(zǐ)投資組合便可ε> ≠(kě)以估計(jì)它們的(de)溢價。但(dàn)是(s×"εhì)由于如(rú)此構造的(de)組合難以避免在其他(tā)‍αα₩風(fēng)險因子(zǐ)上(shàng)σ₹>"有(yǒu)暴露，因此因子(zǐ)溢價的(de)估計(jì)在所難免受到(☆←Ωdào)這(zhè)方面的(de)影(yǐng)響。這(zhè)便給了(±♠le)我足夠的(de)動機(jī)來(lái)應用(yòng) thβ↑ree-pass estimator 來(lái)考察是(shì)否會(h₩ uì)得(de)到(dào)不(bù)一♠≈'(yī)樣的(de)結果。下(xià)表給出了(le)兩種估計(jì)方法給出的(de)因子(z₹♥εǐ)溢價。結果顯示，在 52 周高(gāo)點距離(lí)、特質性動量以及累計∏πα(jì)異常收益率三個(gè)因子(zǐ)上(₩®★∏shàng)，兩種方法的(de)因子(zǐ)溢價符号是(shì)相∑♣✔‌(xiàng)反的(de)，表明(míng)需要(yào)進一(yī)步的(≈λde)分(fēn)析。

當然，three-pass estimator 更大(®•λdà)的(de)價值在于分(fēn)析 non-tradable 因子×↔πσ(zǐ)。鑒于時(shí)間(jiān)和(h∏αλé)精力，本文(wén)并沒有(yǒu)進行(xíng£¶≈)相(xiàng)應的(de)實證。感興趣的(de)™ 小(xiǎo)夥伴可(kě)以自(zì)己試一 §€$(yī)試。畢竟從(cóng)經濟理(lǐ)論出發，資産的(de)預期γ>收益率和(hé)大(dà)量 non-tradable 因子(≥₽ •zǐ)有(yǒu)關。而無論是(shì)本文(w✔γ‌én)介紹的(de) Giglio and Xiu (">2021) 還(hái)是(shì)本系列上(shàng)一(yī)篇←∏α£的(de) Bybee, Kelly and≠$♥ Su (forthcoming) 都(dōu)值得(de)在實踐中φ♥¶嘗試。最後，對(duì)這(zhè)兩篇文(‍Ωwén)章(zhāng)的(de)介紹還(hái)讓我想起更≠‌早的(de)一(yī)篇推文(wén)《Bayesian Two-Pass Re↕♣‌gression》。它們都(dōu)是(shì) two-pass estimato<¥☆r 的(de)有(yǒu)益拓展。

參考文(wén)獻

Bai, J. (2003). Inferentia♥✔♣l theory for factor $models of large dimensi¥‍∏ons. Econometrica 71(1), 135–171.

Bybee, L., B. T. Kelly, and Y. Su (fort©$εhcoming). Narrative asset pricing: Intδ δerpretable systematic risk ☆ factors from news text. Review of Financial S‌∏tudies.

Giglio, S. and D. Xiu (2021). Asset pr₹λεicing with omitted factors. Journal of Political E®←≈conomy 129(7), 1947–1990.

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下(xià♣≠)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息及數(shù)據或所表述的(λ±de)意見(jiàn)并不(bù)構成對(≈>✘δduì)任何人(rén)的(de)投資建議β≤(yì)。在任何情況下(xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)♥→構不(bù)對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文(wén≥π♠£)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de)任何損失負任何©£&∑責任。除特别說(shuō)明(míng)外(wài)，文(wén)中圖表均直×↔♥$接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xi ∑←àng)應論文(wén)，僅為(wèi)介紹之↓≤∏ 用(yòng)，版權歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒu)。↓ φ

合格投資者聲明(míng)

Augmented Fama-MacBeth Re∞§gression (II)