Which Beta ?

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：為(wèi)檢驗因子(zǐ)是(shì↕≤∏)否有(yǒu)顯著的(de)風(fēng)險溢"♥價，首先需要(yào)正确計(jì)算(su£±àn)因子(zǐ)暴露。本文(wén)討(tǎo)論了(le)收益率時$α✔←(shí)序回歸 β 和(hé) firm charact∞↕∑®eristics 作(zuò)為(wèi) β 時(shí)的(dε¥e)差異，并給出了(le)一(yī)些(xiē)建議(γ​ ∏yì)。

1 引言

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)關注的(de)是(shì) empiβ∏☆rical asset pricing test 中的‌π♥✔(de) test。它既不(bù)介紹異象，也(yě)不(bù)講述₹♣因子(zǐ)，而是(shì)著(zhe)眼于檢驗。本文(wén)的(de)內™φ<©(nèi)容雖然重要(yào)，但(dàn)行(xíng δ✔₹)文(wén)非常 technical 且結論又(yòu)看(kà♦↓γn)似 boring；以“真香”論來(lái)看 ✘★δ(kàn)，搞清楚文(wén)中的(de)解讀‍$↕±(dú)不(bù)如(rú)記住最後的(de) ←結論。另外(wài)，本文(wén)篇幅較長(cháng)。鑒于撰寫本文(wén)花(huā)費(fèi)了(le)"★較大(dà)精力（包括精讀(dú)了(le)幾篇₹¶≈$ 2019 年(nián)發表于頂刊的(de)論文(wén)以♥ 及進行(xíng)了(le)大(dà)量實證），下(xià)周将暫停一(₩•yī)次創作(zuò)，屆時(shí)會(♠♠huì)轉載一(yī)篇優質文(wén)章(zhāng)。最後，llang lli 和(hé)刀(dāo)疤連對(duì)本文(wén)的(de)寫作(zuò)提出了(le)許多($<↑→duō)寶貴意見(jiàn)，在此特别感謝(xiè)。正是(shì)因 ×•≠為(wèi)和(hé)他(tā)們的(de)反♣★≥∏複討(tǎo)論，才使得(de)本文(wén)最終變成了(le)我↕"β滿意的(de)樣子(zǐ)。

OK，如(rú)果你(nǐ)沒有(yǒu)被上(shφ₽àng)述劇(jù)透打敗，那(nà)讓我們開(kāi)始吧(ba∏≤₩)。

在檢驗因子(zǐ)是(shì)否有(yǒu)↓¥≥顯著的(de) risk premium 時(shí)，常用(yòng)的↓"≥(de)工(gōng)具是(shì) Fφ← ama-MacBeth Regression；£​ 而該方法首先需要(yào)明(míng)确<™α≤股票(piào)在每個(gè)因子(zǐ)上(shàng)的(de)因 ΩΩ子(zǐ)暴露（factor exposure，即我們常說(shuΩ↔ō)的(de) β）。計(jì)算(suàn)因子(zǐ)暴露有(yǒ"πu)兩種方法：

比較這(zhè)兩種方法的(de)差異就(jiù)是(shì)本文(wéεβ‌n)的(de)目标，這(zhè)也(yě)是(shì∑∑☆)本文(wén)取名 which beta 的(de)原因。由于篇幅較長(cháng)，為(wèi)避免β↔各位小(xiǎo)夥伴在閱讀(dú)過程中 get lost，ε∞<↔下(xià)面先給出文(wén)章(zhāng)♠¥的(de)思維導圖。

下(xià)面讓我們從(cóng) Fama-MacBeth Re ε​δgression 說(shuō)起。

2 Fama-MacBeth Regression

Fama-MacBeth Regression 是(shì)學界和(hé) &業(yè)界檢驗因子(zǐ) risk premium 的(de)主流方法之↕•一(yī)（Fama and MacBeth 1973，↓λ£≤見(jiàn)《股票(piào)多(duō)因子(zǐ)模‍¶☆型的(de)回歸檢驗》）。它的(de)檢驗過程分(fēn)為(wèi)兩步：

上(shàng)述過程的(de)第一(yδδī)步是(shì)為(wèi)了(le)第二步服務， $↓而第二步具備兩個(gè)優點：（1）在截面上(shàng)使用(yòn×∞€g)多(duō)因子(zǐ)回歸可(kě)以考察每個(gèδ↑♥)因子(zǐ)對(duì)解釋資産預期收益率差異的(de)增σ✔ 量貢獻；（2）“先單期截面回歸、再從(có←♣€ ng)時(shí)序上(shàng)取平 ₩均”可(kě)以排除殘差收益率的(de)截面相(xiàng)關性帶來(α'‍lái)的(de)影(yǐng)響。然而，上(shàng)述兩步走的(de)過程存在一(yī)個(gè)不(bù)&£>→可(kě)避免的(de)問(wèn)題，即第一(yī)步通(tōng)過時(shí)↔§序回歸得(de)到(dào)的(de)因子(zǐ)暴露僅僅是(shì)真實但(dàn)未知(zhī)的(de) β 的(de)估₩∑計(jì)，因而存在誤差；将這(zhè)個(gè) estimat> ♦e 直接作(zuò)為(wèi)解釋變量用(yòng)在第$​§∑二步就(jiù)引入了(le) errors-in-variables 問(wèn)題（EIV）。

Fama and MacBeth (1973) 自(♣σzì)然意識到(dào)了(le)這(zhè)個(gè)問(wèn)題。為(φ< ↕wèi)此，在這(zhè)篇以檢驗 CAPM 為(wèi)初衷的(de≥✔)文(wén)章(zhāng)中，他(tā)們并沒有(yǒu)使用(y≤∏òng)個(gè)股的(de)收益率，而₩φ是(shì)将個(gè)股按照(zhào)曆史 β 的(de)大(dàφ±)小(xiǎo)構成了(le)不(bù)同的(deλ≠)投資組合，然後使用(yòng)這(zhè)些(xi₹♦ē)投資組合作(zuò)為(wèi)資産，放(fàng)在回歸中的(de&") LHS 檢驗 CAPM。Black, Jenγ↓ sen, and Scholes (1972) 以及 Ω☆✔Fama and MacBeth (1973) 指出：當使用(yòng)投資組合時(shí)，♦♥↔個(gè)股 β 的(de)估計(jì)誤差會(h£↑♥uì)相(xiàng)互抵消，因此對(duì)投資組合的(dλ δe) β 估計(jì)會(huì)更準确，從(cóngδ≥")而在一(yī)定程度上(shàng)降低(dī) EIV 的÷¥(de)影(yǐng)響。自(zì)此以後，在進行(xíng) Fama-MacB→±✔♦eth Regression 檢驗因子(zǐ)時(shí)，≥δΩ使用(yòng)投資組合而非個(gè)股放(fàngβα)在 LHS 就(jiù)成為(wèi)了(le)₹'β♣學術(shù)界的(de)标配。但(dàn)有(yǒu)大(dà)佬對(duì)此頗有(&σ®yǒu)微(wēi)詞，這(zhè)其中就(jiù)包♥φ¶↓括 Fama 的(de)弟(dì)子(zǐ) Richar∞✘d Roll。

Roll 和(hé)他(tā)的(de) co-authors 在 J&  ≠egadeesh et al. (2019) 這(zhè)篇最新發表于 J÷>ournal of Financial Economics 的(de)文↔σ₹→(wén)章(zhāng)指出将個(gè)股按照(zhào)某種屬性分(fēn)組實際上¶₽(shàng)是(shì)一(yī)種降維™∑∑★處理(lǐ)，投資組合會(huì)丢掉很(hěn)多(duō)個(↕÷¶₽gè)股截面上(shàng)的(de)特征。如(rú)果待檢驗的(de)因子(zǐ)和(hé)這(zhè)βδ些(xiē) LHS 組合的(de)分(fēn)組屬性正交，用(y∑&¥'òng)它們作(zuò)為(wèi) LHS 進行(xíng‌<) Fama-MacBeth Regression 是(shì)無法發♠λ現(xiàn)這(zhè)些(xiē)因子(zǐ≤↕®✔)的(de) risk premium 的(de)。因此，Jeg∑ $λadeesh et al. (2019) 建議(yì)使用(y£γ•‌òng)個(gè)股收益率放(fàng)在 LHS。

除此之外(wài)，學術(shù)界對(duì)于投資組合的(de)過₩←₽α度使用(yòng)還(hái)有(yǒu)另一(yī)個(gè)不(bù≥‍✘)好(hǎo)的(de) side effect。Fama and Frenγ↔☆ch (1993) 三因子(zǐ)的(de)橫空(kōng)出世，♠♥Ω不(bù)僅讓人(rén)們從(cóng)此¥£接受了(le) SMB 和(hé) HML 兩個(gè)因子(zǐ≠Ω↕)，更讓使用(yòng) Size 和(hé) B/M 進行(÷§¶<xíng) double sort 得(de)到(dào)的(de) 5©♦ × 5 一(yī)共 25 個(gè)投資組合成®₽為(wèi)了(le)評價不(bù)同因子(zǐ)模型時(shí)↓>的(de)标配。很(hěn)多(duō)模型以能(néng)夠在截面上(shàng)很$ €>(hěn)好(hǎo)的(de)解釋這(zhè) 25 個(gè> β§)資産的(de)預期收益率為(wèi)依據，說(shφβ"÷uō)明(míng)提出的(de)新因子(zǐ)是(shì)↓®∑有(yǒu)效的(de)。對(duì)此，另外(wài)兩位大(dà)佬 Stefan Nagel 和(∑<←↔hé) Jay Shanken 認為(wè≤∏i)這(zhè)是(shì)極大(dà)的( ←de)誤解。

Nagel 和(hé) Shanken 在 ​λ✔Lewellen, Nagel, and Shanke♥∞​↕n (2010) 一(yī)文(wén)中指出，使用(yòng)™÷​↓ Size 和(hé) B/M doubl‍↓÷→e sort 的(de)這(zhè) 25 個¶↕↑(gè)組合有(yǒu)非常強的(de) factor structφ≠×ure。任何一(yī)個(gè)待檢驗的(de)因子"₹$(zǐ)，如(rú)果它們和(hé) HML 或 SMB 的(de™α<ε)相(xiàng)關性大(dà)于它和(hé)這(zhè) 25 個(gè‍☆)組合被 HML 和(hé) SMB 解×☆釋後的(de)殘差的(de)相(xiàng)關性的≠↓(de)話(huà)，這(zhè)個(gè)新因子(zǐ)就(jiù)能(₽βnéng)在這(zhè)些(xiē)投資組合的(de)截面上(sh ★àng)獲得(de)很(hěn)高(gāo)的(de) ¶≠R²，換句話(huà)說(shuō)，這(zhè)些(xiē)組合的✔€₩(de) α 會(huì)很(hěn)接♠±近(jìn)零。因此，哪怕一(yī)個(gè)因子(zǐ)能(néng)€✔夠很(hěn)好(hǎo)的(de)解釋這(zhè) 25 個(gè)₽ ☆投資組合的(de)截面預期收益率差異，它也(yěφε)未必是(shì)有(yǒu)效的(de)。

以上(shàng)兩個(gè)問(wèn)題均說(♥​☆÷shuō)明(míng)在檢驗因子(zǐ)以及因子(zǐ)模型時(shí)，僅✘λ ↑使用(yòng)有(yǒu)限個(gè)投資組合作(zuò)為(wèi) test assets 不¶∞(bù)再合适。Lewellen, Nagel, and©φ☆← Shanken (2010) 提出的(de)解決方法之一(yī)正是(≈♦<↓shì)使用(yòng)更多(duō)的(de)投資組合。比如(rú)，在 ∏₽Fama and French (2019) 這(zhè ÷$≈)篇最新的(de)研究中，他(tā)們二位就(jiù)使用(y©∞♣òng)不(bù)同的(de)公司指标兩兩 double sort 構建了(l₩♦e) 200+ 個(gè)投資組合，檢驗了(le)時(shí)序和(hé)截面∞®因子(zǐ)模型的(de)效果。

如(rú)今，距離(lí) Fama and MacBeth (1973¥€) 的(de)提出已經過去(qù)了(le)快(kuài) 50 Ω↕Ω年(nián)。無論是(shì)計(jì)量₹Ω經濟學的(de)發展還(hái)是(shì)學術(shù)界因子(÷☆zǐ)挖掘的(de)日(rì)趨嚴重（fa∑ ↓δctor zoo），都(dōu)促使我們摒棄投資組合、Ω↓®轉而使用(yòng)個(gè)股收益率放£₹(fàng)在回歸方程的(de) LHS。當使用(yòng)個(gè)股收益率放(fà‍₽★ng)在 LHS 時(shí)，必須盡量排除 EIV 問(wèn)題、獲↑★∏♠得(de)盡可(kě)能(néng)準确的(de)®₹‌因子(zǐ)暴露的(de)估計(jì)。為(wèi)此，Jegadeesh et↓∞ al. (2019) 提出在 Fama-Mac£♣Beth Regression 的(de)第一(yī)步時(shíγδ↕π)序回歸中引入 Instrumental Variables（IV），它将是(shì)下(xià)一(yī)節的(d©σ"<e)內(nèi)容。

對(duì) EIV 問(wèn)題，業(yè)界有(yǒu)著(zhe)不(¥"σ®bù)同的(de)做(zuò)法。我們熟悉的(de) Barra 的(de)純因子(zǐ)模型本質上(π≠shàng)正是(shì) Fama-Mβ←acBeth Regression。但(dàn)是(shì)它沒有(yǒu)使用(yòng)× &¶第一(yī)步時(shí)序回歸計(jì)算(suàn)因子(zǐ)暴露，而是(shì)使用(yòng)了(le) firm characte£¥ristics 作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)暴露，然後進行(xíng)截面回歸。由于不(bù)需要(yào&♣↓)估計(jì) β，Barra 在回歸方程的(de) LHS 使®∞Ω↑用(yòng)了(le)個(gè)股收益率♠ π。當然，Barra 多(duō)因子(zǐ)模型的(de)目的(↑φde)是(shì)為(wèi)了(le)計(jì)算(suàn)個←σ σ(gè)股的(de)協方差矩陣，從(có‍↑ng)這(zhè)個(gè)意義上(shàng)說(shuō)，LH£♥€&S 使用(yòng)投資組合也(yě)沒什(shén)麽道(dào)理(lǐ)"♥。當把個(gè)股收益率放(fàng)在 LHS 時(←∏♣shí)，比較學術(shù)界和(hé)業(yè)界的(de)在計<♥∞ (jì)算(suàn)因子(zǐ)暴露時(shí)的(de)不(bù)同做(zuò)法正是(shì)本✔ β文(wén)背後的(de)動機(jī)。

3 工(gōng)具變量

在 Fama-MacBeth Regression 中，第二步截面回歸☆®☆α的(de)數(shù)學表達式為(wèi)：

由于采用(yòng)了(le)個(gè)股收益率放(fàng)在σ± LHS，因此上(shàng)式中 r_t σ£∞是(shì)個(gè)股收益率向量；B 是(shì)第一(yī)步時(shí)‍™序回歸得(de)到(dào)的(de)因子$©(zǐ)暴露估計(jì)矩陣，它是(shì)一(yī)個(gè) N × K 階矩陣δ§λ（N 支個(gè)股；K 個(gè)因子(zǐ)）；λ 是£ (shì)帶求解的(de)因子(zǐ) risk prem≈↓ ium 向量；ξ_t 是(shì)殘差向量。為(wèi)減少(shǎo) EIV 問(wèn)題¶®'>的(de)影(yǐng)響，Jegadeesh et al. (20<✔19) 在上(shàng)述 OLS 回歸中引入了(le) Instrumenα≥↓tal Variables，因此得(de)到(dào) λ ∞☆✔™的(de) IV 估計(jì)量為(wèi)：

上(shàng)式中，B_IV 和(hé♥✔) B_EV 分(fēn)别為(wèi) inst✘®≈rumental 和(hé) explanatory vari☆βables：B_EV 是(shì)對(duì) β♦≠ 的(de) estimate；B_IV 是(shì) B_EV 的(de)工®β(gōng)具變量。Jegadeesh et al<≥φ←. (2019) 使用(yòng)互不(bù)重疊的(de)曆史數(shù)據分(fēn)别進行(xíng)時(shí)序回歸求₹'÷π解 B_IV 和(hé) B_EV，并指出正 δ因如(rú)此，它們在截面上(shàng)是★₹₹(shì)不(bù)相(xiàng)關的(de)，可(π₹£σkě)以減少(shǎo) EIV 問(wèδ<§δn)題。具體(tǐ)來(lái)說(shuō)，在每個(gè)月(yuè)末，為(w×♥☆èi)了(le)計(jì)算(suàn)最新的(de) Bφ↓Ω_IV 和(hé) B_EV，Jegadeesh <Ω‌et al. (2019) 使用(yòng)過γπ✘×去(qù)三年(nián)個(gè)股的(de)日(rì)頻(p< ←λín)收益率和(hé)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)日(rì)頻(↑>$>pín)收益率進行(xíng)時(shí)序 multivariate reφ‌gression：

由于 EIV 問(wèn)題，Fama-MacBeth Regressio<£¥÷n 中第二步截面上(shàng)的(de) OLS 計(jì☆"σ↓)算(suàn)得(de)到(dào)的(de) ris>↔ k premium 往往是(shì) biased™φ∞，而多(duō)個(gè)因子(zǐ)一(yī)起的(de)多(duō♣₹)元截面回歸使得(de)我們無法确定每個(gè)因™↔子(zǐ)溢價上(shàng) bias 的(de)方向。Jegadeesh γ★​et al. (2019) 指出，上(shàng)★∏$↕述 IV estimate 可(kě)以獲得™Ω (de) risk premium 的(↕•∏de)無偏估計(jì)。以 CAPM 單因子(zǐ)為(wèi)例，下(xià)圖給出了(le) Je$€♦gadeesh et al. (2019) 的(de)分(fēn)析結♣ ≈果。當使用(yòng)傳統的(de) OLS 時(shí)，對(duì'±) market risk premium 的(de)估計(jì)的(de)‌εγ bias 随著(zhe)計(jì)算(suàn)  ±γ'β 的(de)時(shí)序窗(chuāng)口增加而減少(shǎδ€↔o)，但(dàn)即便是(shì)使用(yòng)了© ±©(le)長(cháng)達 10 年(nián)的(de)數(‍¶≈→shù)據（2500 個(gè)交易日(rì$ )），bias 仍然高(gāo)達 -7%‍≥‌ 左右；若采用(yòng) IV 估計(jì)量，對(duì) market​'γ risk premium 的(de)估計(jì​€£)是(shì) unbiased。

顯然，即便是(shì)對(duì)于美(měi)股，使用(yòn•Ω•g)十年(nián)滾動窗(chuāng)口來(lái)估計(jì) β σ☆都(dōu)是(shì)相(xiàng)當奢侈的(de∏σ')（況且它還(hái)無法消除 bias），₽φ更不(bù)要(yào)提大(dà) A 股了(le)。因此，I÷π£₩V 估計(jì)量在估計(jì) risk premium ™↕✔&時(shí)優勢明(míng)顯。下(xià)面以中證 500 成分(fēn)股為(wèi)例（将它們放(fàΩ&∑<ng)在回歸方程的(de) LHS），檢驗 Fama an•±d French (2015) 的(de)五因子(zǐ)模☆₽Ω型中的(de)因子(zǐ)是(shì)否有(yǒu) r→♥isk premium。實證期為(wèi) 2γ₹•010 年(nián) 1 月(yuè)至 2019 年(nián) 4ε¥ 月(yuè)。在每月(yuè)末，使用(yòng)$♣★α過去(qù)兩年(nián)的(de)日(rì)頻(pín)收♣"∞ 益率序列估計(jì) B_EV 和(hé) B_EV。作(zuò)為(wèi±∞& )對(duì)比，同時(shí)使用(yòng)不(bù↓₹®')引入 IV 的(de)方法，即使用(yòng)兩年(nián)滾動窗(ch  ₽↕uāng)口的(de)全部數(shù)據估計( ™αjì) β 并将它用(yòng)在 Fama-MacBe≤αth Regression 的(de)第二步。下"≠♠"(xià)表給出了(le)這(zhè)五個(gè)因子(zǐ)的(d↑‌e)檢驗結果（其中 Test 1 為(wèi)未引入 IV 的(de)方←γ法；Test 2 為(wèi)使用(yòng) IV estimate♥↓ > 的(de)方法）。

結果顯示，當使用(yòng)個(gè)股作(zuò)為(wèi​✔¶)資産放(fàng)在 LHS 時(shí)，由于 EIV 的(de)問(wè'&±≈n)題，Fama-MacBeth Regression 給出™←的(de)結論是(shì)全部五個(gè)因子(zǐ)均沒有(yǒu)顯著&¶的(de) risk premium —— 即五因子(zǐ)不(☆∑≤bù)能(néng)有(yǒu)效的(de)解釋個(gè)股截×±γ面預期收益的(de)差異。當采用(yòng) IV estimate 時(shí)，SMB 因子(z↓ε≤ǐ)變得(de)顯著（其他(tā)四個(gè)因子(zǐ)仍然不('★bù)顯著）。這(zhè)個(gè)簡單的(de)結果表明(míng)∑‍₽消除 EIV 問(wèn)題，即使用(yòng)更準确的(de) ≥↓β estimate，對(duì)于評判一(≠ yī)個(gè)因子(zǐ)是(shì)否有(yǒu)效至關重要(yào)φ±σ。從(cóng)上(shàng)面的(de)結果可(≥₩€kě)以得(de)到(dào)本文(wén) w<✔±hich beta 之問(wèn)的(de)第一(yī)個(gè↔©®₩)觀點：在 β 估計(jì)時(shí)引入 IV§Ω≈ 消除 EIV 的(de)影(yǐng)響比€↔‌→直接使用(yòng) β 做(zuò) OLS 截面回歸能(n♠©éng)夠獲得(de)更準确的(de) risk premium estiλ₹ mate。如(rú)果討(tǎo)論就(jiù)此結束實在φ↓意猶未盡。事(shì)實上(shàng)，Jeg>•adeesh et al. (2019) 的(de)實證§≈•分(fēn)析也(yě)未止步于此；他(tā)們在 β 的(de)基礎↔✘λ₽上(shàng)加入了(le) firm characteristi↓♠cs。使用(yòng)時(shí)序回歸系數(shù)和(hé≠≤") firm characteristics β¶同時(shí)作(zuò)為(wèi) β 也(∏‌ ‍yě)是(shì)這(zhè)兩種方法的(de)直接 PK。

4 公司特征

Jegadeesh et al. (2019✘≠) 在美(měi)股上(shàng)使用(¶‌yòng)他(tā)們提出的(de) IV 估♦♣≈計(jì)量檢驗 Fama and French (1993) 三因子(zǐ®✘ )模型并發現(xiàn) SMB 和(hé) HML 确實有(≥™ yǒu)顯著的(de) risk prem¥☆♣ium。不(bù)過，他(tā)們同時(shí)↕≈₽指出，以上(shàng)顯著的(de)結果可(kě)能(néng)源自(zì)₩>÷₹被忽視(shì)的(de)變量偏差，即在截面回歸時(shí)沒 ✔有(yǒu)控制(zhì) Size 和(hé) B/M 這(zδ↔hè)些(xiē)用(yòng)來(lái)構建 S÷₽MB 和(hé) HML 的(de)公司£ <"特征（firm characteristics）。為(wèi)此，他(tβ™ā)們将 Size 和(hé) B/M 加入到(π★dào) Fama-MacBeth Regression ≈&•的(de)第二步，和(hé) HML 以及σ♦‌ SMB 的(de) β estimate 一(yī←ε)起進行(xíng)了(le)截面回歸。令人(rén)吃(chī)驚的(de)是(shì)，Jegadeeαδ♣sh et al. (2019) 的(de)實證結果（下(xià)"λ★€圖）顯示，當 Size 和(hé) B/M（或 ↓×™logB/M） 被加入後，這(zhè)兩個(gè) firm chaσ ¶$racteristics 可(kě)以獲得♥•β(de)顯著的(de) risk premε×>₽ium，而 SMB 和(hé) HML ≈€Ω的(de) risk premium 不(bù)≠β©φ再顯著。

我們同樣來(lái)看(kàn)看(kà∞•n) A 股的(de)實證結果。考慮 firm★♣ characteristics 之後，把上(shàng$→¥)一(yī)節 Test 1 和(hé) Test 2 中分(fēn)别加入對'♦✔(duì)應 SMB、HML、RMW、CMA ♥←♠ 四因子(zǐ)的(de)公司指标得(de)到(dào) Tes ÷™γt 3 和(hé) Test 4。在這(zhè)兩個(g ∑è) tests 中，相(xiàng)應的(de)公司指标記為(wèi) Si¶✘ze（使用(yòng)的(de)對(duì)數(shù)流通(tōng≥'♦)市(shì)值）、B/P、OP/TA 以及 INV。

引入 firm characteristics ♥✔β→之後，Fama and French (2015) 五因子♣♣↑>(zǐ)在中證 500 上(shàng)均不(bù)顯著；而 ∞€♥B/P 和(hé) OP/TA 這(zhè)兩個(gè)↕'®₩公司指标可(kě)以獲得(de)顯著的(de) risk premiu≠★m。Firm characteristics∞¥“戰勝”時(shí)序回歸 β 的(de)結'γδΩ果和(hé) Jegadeesh et al. (2≤​∏ 019) 在美(měi)股上(shàng)的(de★±∞€)實證結果十分(fēn)相(xiàng)似（他(tā)們©​$針對(duì)美(měi)股也(yě)檢驗了(le)五因≠•子(zǐ)模型和(hé) Hou, Xue, and Zhang 201α£5 的(de) q-factor 模型，均有(yǒu)類似的(de)→≈"發現(xiàn)）。當使用(yòng)投資組合作(zuò)為(wèi)檢驗因子(zǐ)的(de≠→α$)資産時(shí)，這(zhè)些(xiē)學術(shùΩ™φ)界的(de)因子(zǐ)的(de)确可(k£εě)以獲得(de)顯著的(de) risk premium。然而，當 ✔↔↑使用(yòng)個(gè)股收益率、并考慮了(le) firm ↔≈characteristics 後，它們均不(bù)再顯著。✘Ωσ↓這(zhè)背後的(de)原因是(shì)什(shén)♠↕≥☆麽呢(ne)？Jegadeesh et al. (2019) 給出了(le)它♠✘♣們的(de)嘗試，無奈最後的(de)結論是(sh¥γ ì)“remains a puzzle”；我們也(y<≈£ě)要(yào)給出自(zì)己的(de)思考。接下(xià)來(lái)從(cóng)以下(xià) ≤σ™兩個(gè)角度思考這(zhè)個(gè)問(≥↑>wèn)題：

5 時(shí)序回歸 vs 公司特征

前文(wén)中 Test 1 和(hé) Test 2®✔ 的(de)結果說(shuō)明(míng)，£€ 當 LHS 使用(yòng)個(gè)股收益率時(shí)，五因子(zǐ)幾×'↔¥乎都(dōu)無法獲得(de)顯著 risk pr≈β←emium。我們知(zhī)道(dào)，一(→≈£✔yī)個(gè)随機(jī)因子(zǐ)πα是(shì)無法獲得(de) risk preσ< mium 的(de)。從(cóng)這(zhè)"↓≠±個(gè)觀點出發反推，可(kě)以猜測時(shí)序回歸得(de)到₹$(dào)的(de) β 在截面上(shàng)♣∏ελ非常不(bù)穩定，使得(de)這(zhè✘∏₩←)些(xiē)因子(zǐ)的(de)行(xíng)為(wèi)就(jiù)像随機(jī)因子(zǐ)一(yī)樣。這(zhè)可(kě)能(néng)是(s≈γ$hì)由于日(rì)頻(pín)收益率數(shù)據的(de)高±™(gāo)噪音(yīn)和(hé)多(duō)元回歸中因子(zφ ¶ǐ)之間(jiān)的(de)相(xiàng)互影(yǐng)響所緻。另一(yī)方面，使用(yòng) firm characteri®>↑stics 比使用(yòng)時(shí)序回歸 ♠ β 能(néng)獲得(de)更顯著的(de) ri♣™↓sk premium，這(zhè)說(shuō)明(míng) firm∞€ characteristics 對(duφαì)應的(de) pure factor port↕ folio 能(néng)獲得(de)更高(gāo)的♦​♠φ(de)收益率。這(zhè)意味著(zhe)與時(shí)序回歸的(de) β 相(xπ≈÷↔iàng)比，當期 firm characte‌∑£εristics 和(hé)下(xià)一(yī)期個(gè)股收益ε$≤♣率之間(jiān)的(de) IC 以及 ICIR 更高(gΩ♦āo)。下(xià)列實證結果也(yě)證實了(le)這(z£×hè)個(gè)猜想。

下(xià)圖是(shì) SMB 因子(zǐ)的(de↔₽)時(shí)序回歸 β 和(hé) Size 這(zhè)兩個("βgè)解釋變量和(hé)個(gè)股未來'↓☆(lái)收益率之間(jiān)的(de) rank I§✘‌C 時(shí)序圖（藍(lán)色為(←≈wèi)時(shí)序回歸 β；黃(huáng)色為(wè±αi) Size），圖中同時(shí)給出了(le)這(zhè)兩個(gè)♥÷變量的(de) IC 均值以及 ICIR（Size 的(d $e) IC 均值及 ICIR 為(wèi)負說(shuō✘♣)明(míng)小(xiǎo)市(shì)φ"‌值更好(hǎo)）。結果顯示，時(shí)序回歸得(de)到(dào)的(de) SMB 的( ₽÷σde) β 和(hé)個(gè)股收益率的(de) IC£¶ ♠ 均值（絕對(duì)值）沒有(yǒu) Size 高(gāo)；說♥♦₩(shuō)明(míng) Size 比 SMB β 對(duì)于未來(lá∞®♦±i)收益率更具有(yǒu)預測性。此外(wài) Size 的(÷ de) ICIR（絕對(duì)值）更高(gāo)也(yě)說(shuō)明∏±(míng)它作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)暴露，要(yào)比 SMB 的(de) β 更加穩定。

在其他(tā)三個(gè)因子(zǐ) HML、RMW ≈±→以及 CMA 上(shàng)也(yě)能(nββéng)觀察到(dào)類似的(de)結果÷€，這(zhè)裡(lǐ)不(bù)再贅述，結果彙總于以下(x©<Ω$ià)三張圖。

以上(shàng)實證結果說(shuō)明(míng)，作(zuò)為(₽∏₩♦wèi)因子(zǐ)暴露，firm characteristics 确實比它們對(dγ↕γ uì)應的(de)因子(zǐ) β 有(yǒu)更好(hǎo)的(de)預測性≠♥₹。但(dàn)這(zhè)背後的(de)原因是(shì)什(s₩​£hén)麽呢(ne)？近(jìn)日(rì)，Richard §γ♣Roll 和(hé)他(tā)的(de) c∏ ×o-authors 在 Review of Financial St•★>udies 上(shàng)發表了(le)一(yī)篇題為(wè≥ ♠i) A protocol for factor iγ™≥dentification 的(de)文(wén)章(zhān>÷γg)（Pukthuanthong, Roll, →>>and Subrahmanyam 2019），闡述了(le)一(yī)個σ≥₩ (gè)系統識别因子(zǐ)的(de)規程。‍≠×這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)本身(♠δ♥shēn)非常值得(de)一(yī)讀(dú)，不(bù)過我提它是(shì)€>因為(wèi)一(yī)個(gè) side & £≤note。

這(zhè)篇文(wén)章(zhāng)最 ‍★早寫于 2015 年(nián)并獲得(de•λλ&)了(le) The Q Group 的(de) Jack Treyn•★×↓or 獎；Richard Roll 也(y>®αě)于 2016 年(nián)應邀做(zuò)了(le)該文(wén ‌)的(de)報(bào)告。在報(bào<σ→¶)告中，他(tā)指出因子(zǐ)本身(shēn)的(de)運動是(shì)難以預測的(d♣"e)，因此像 firm characteris©αδtics 這(zhè)些(xiē)可(kě)以提前知(zhī)道(dào)的(♥₽de)指标不(bù)能(néng)成為(wèi)因子(zǐ)。它‍₹£®們能(néng)夠獲得(de)風(fēng)險溢價可(kě)能(néng)有(₩₽βyǒu)兩個(gè)原因：（1）它們是(shì)未知(zhī)因子(zǐ)暴露的(de) good proxy；（2）它們代表了(le)套利機<¶(jī)會(huì)。

我們知(zhī)道(dào)如(rú)果以 B★&¶♣/P 來(lái)構建一(yī)個(gè)多(duō)≥‌¥空(kōng)組合，該組合的(de)波動其實是(shì∏‍π↔)很(hěn)大(dà)的(de)，它并不(b↓÷≈ù)代表某種無風(fēng)險套利機(jī)會$← (huì)，因此上(shàng)述第二個(♠♥gè)原因難以說(shuō)通(tōng)。所以，更有(yǒu)可<<™(kě)能(néng)的(de)是(shì)這(zhè)些(↕$♦xiē) firm characteristics 有(yǒu)效的(deα™<)代表了(le)因子(zǐ)暴露。需要(yào)強調的(de)是(shì)，“fir♣÷≈≠m characteristics 是(shì)更好(hǎo)的(≈↕∑γde)因子(zǐ)暴露”這(zhè)個(gè)觀點←$↔仍然是(shì)一(yī)種猜測。Jegadeesh et al. (2019) 就(jiù)這(zh¶‌"è)一(yī)點構建了(le)一(yī)個(gè)假設，但↓∏(dàn)很(hěn)遺憾實證數(shù)據并沒有(yǒu)支持這(zhè)​‍★個(gè)觀點。我們在此給出 which beta 之問(wèn)的(&& ©de)第二個(gè)觀點：同時(shí)考慮 firm characterist&☆™ics 和(hé)時(shí)序回歸系數(shù)時(shí)∞♥₹×，後者無法獲得(de)顯著 risk premiu∏∞♣✔m；從(cóng)實證結果來(lái)看(kàn)，firφ★m characteristics 确實是(shì)更好(hǎo)使 ₩的(de)因子(zǐ)暴露，但(dàn)背後的(de)原因依然未知✘÷∏(zhī)。

6 結語

如(rú)今，無論是(shì)檢驗單個(gè)因子(zǐ)還(há αi)是(shì)因子(zǐ)模型，僅使用(yòng)¥↔有(yǒu)限個(gè)投資組合作(zuò)為(wèi) LHS 都(dōu♠©)難以令人(rén)滿意。正因如(rú)此，學者們提出使用(yòng)個☆≈(gè)股的(de)收益率作(zuò)為(wèi) LHS。但(dàn)§≤♦ 由于 EIV 的(de)問(wèn)題，如(rú)何計(jì)算 ε≤(suàn)個(gè)股的(de)因子(zǐ)暴露 β 至關重要(yào)。本文(wén)就(jiù) which b'♥←eta 問(wèn)題進行(xíng)了(le)系統的(de)闡述。

文(wén)章(zhāng)從(cóng) Jegad↓γ§∞eesh et al. (2019) 提出的(de) IV estimatπ™₽₩e 出發，考慮了(le)時(shí)序回歸估計(jì) β，并引入 >∞firm characteristics 作(zuò)為≠₽∞←(wèi)控制(zhì)變量，構建了(le)一(yī)共 ←✘γ4 個(gè) tests 檢驗了(le) ∞&φ₽Fama and French (2015)&​ 五因子(zǐ)模型在中證 500 上(shàng)是(×£γshì)否能(néng)夠獲得(de)顯著 risk premium。¥™作(zuò)為(wèi)回顧，這(zhè) 4 個(gè) testδ≥♣‌s 的(de)設定總結于下(xià)表。

綜合本文(wén)的(de)實證結果，關于 wε£hich beta 的(de)探討(tǎo)​π得(de)到(dào)以下(xià)兩個(gè)觀點：

正确計(jì)算(suàn)因子(zǐ)暴露至關重要(yào)。例如(rú)，在業(yè)績歸因時(shí)，如(r∞↓₩ú)果不(bù)知(zhī)道(dào)具體(tǐεα₩§)的(de)持倉明(míng)細，就(jiù)隻能(néng)把待歸因₽÷的(de)收益率作(zuò)為(wèi)£×被解釋變量、把因子(zǐ)收益率作(zuò)為(wè​↓i)解釋變量進行(xíng)時(shí)序回Ω✘™±歸，以回歸系數(shù) β 作(zuò)為(wèi) →<評價的(de)依據（AQR 用(yòng)自(zì)家(jiā)的(de ✘)多(duō)個(gè)風(fēng)格因子(zǐ)對(duì)±‌&美(měi)股上(shàng)多(duō)位傳奇大(§∞dà)佬的(de)收益進行(xíng)過₹α↓業(yè)績歸因）。又(yòu)如(rú)，在構建宏觀因子♥∑γ(zǐ)模型（macroeconomic factor ≥£∏¥models）時(shí)，由于宏觀經濟數(shù)☆¶‌←據不(bù)是(shì)公司财務指标，因此隻能(₹γ♠✔néng)通(tōng)過時(shí)序回歸計(jì)算(suàn)股票$<(piào)在這(zhè)些(xiē)因子(zǐ)上(shàΩ≠ng)的(de)因子(zǐ)暴露（比如(rú)常見(jiàn)的(de)對(duì) GDP、利率的(de)敏‍" ≠感度等）。

在 Fama and French (1996) 這(zhè)篇著名的(de™φ)解讀(dú)三因子(zǐ)模型的(de)文(wén)章(zhāng)中，兩∏ ♦​位作(zuò)者指出，解釋一(yī)支股票(piào)的∞$★(de)截面收益應該關注的(de)是(shì)它和(hé)因¶€₽子(zǐ)之間(jiān)的(de) β，而非公司指标 ≤®上(shàng)的(de)取值 —— 比如(rú)δ•✘ B/P 小(xiǎo)的(de)公司如(rú)ε<÷果在 HML 上(shàng)的(de)暴露大(dà)，那(nà)<✔∞γ麽該公司實際上(shàng)會(huì)被認為(wèi)是(shì)價值>₽'股，而非成長(cháng)股。

以上(shàng)例子(zǐ)都(dōu)說(shuō π)明(míng)，使用(yòng)時(shí)序回歸 β 是(shì)符合"₽≠φ我們認知(zhī)的(de)。但(dàn)實證數(shù)據顯示↓"σ&的(de)卻又(yòu)是(shì)另一(y"↑ī)個(gè)故事(shì)。當個(gè)股收益率被放(fà β±‍ng)在 LHS 時(shí)，firm characteristic∞✔•©s 完勝時(shí)序回歸系數(shù)​↔♥'：前者能(néng)獲得(de) risk premβ←♦ium，但(dàn)後者卻不(bù)行(xíng)。而 Jegadees‌ h et al. (2019) 的(de)分(fēn)析表明σ×>£(míng)，firm characteristics 作(zuò)為(wèi)因子(zǐ)Ω≠£暴露時(shí)，它們和(hé)未來(lái)因Ω→↓子(zǐ)暴露之間(jiān)的(de)相(xiàng)關性甚至還(hái)低(dī)于¶<<↔使用(yòng)曆史數(shù)據時(shí)序回歸的(de)♠Ω₽≤ β 和(hé)未來(lái)因子(zǐ)暴露的(de)相(xiàng)關性。這(zhè)就(jiù)是(shì)為(wèi)什(shén)麽他(t₽§γ←ā)們把這(zhè)個(gè)現(xiàn)象稱作(zuò)未解之謎。

對(duì)于到(dào)底該使用(yòng)時(shí)序回歸系數≈αβ€(shù)還(hái)是(shì) firm cha£•↕→racteristics 作(zuò)為(wèi)因γπ±£子(zǐ)暴露，《股票(piào)多(duō)因子(zǐ)模型的(de)回歸檢驗》♥ ∞的(de)第六節曾有(yǒu)過簡單討(tǎo)論（今天算(suàn)是(§ ≈shì)個(gè)進階版）。盡管在實證中 firm character>"istics 獲得(de)了(le)顯著的(de) r€♠​isk premium，用(yòng)它作(zuò)為(wèi≈ )因子(zǐ)暴露也(yě)不(bù)能(néng)說(shuō) 100% 有(yǒ>☆♦u)道(dào)理(lǐ)。從(cóng)多(duō)因子(zǐ)模型'π>£來(lái)說(shuō)，股票(piào)在因子(zǐ)上•÷γ(shàng)的(de)收益正比于它們的(de)因子(zǐ)暴露。但(dàn)像對(duì)數(shù)市(shì)值或 P/B ≥$↔₹這(zhè)些(xiē)指标，即使公司 A 的(d₽≤e)指标是(shì)公司 B 的(de)兩倍，也(yě)不(bù)能(néng  ¶β)說(shuō) A 在該因子(zǐ)上(shàng)獲得(de)的(d∑ e)收益率就(jiù)是(shì) B 的(deπ& &)兩倍；從(cóng)因子(zǐ)模型的(de)本質來(lái)說(shuō)Ωε，收益率時(shí)序回歸系數(shù)作(zuò)為(wèi)因子(∏¥∑✘zǐ)暴露更加合理(lǐ)。但(dàn)另一(yī)方面，當公司基本面發生(shēn↑✘£g)較大(dà)變化(huà)時(shí)，回歸系數(sh♥Ωù)的(de)變化(huà)又(yòu)不(b㥶ù)能(néng)及時(shí)、準确的(de☆♠™)反映股票(piào)在因子(zǐ)上(shàng)暴露的(↓₹de)變化(huà)。無論如(rú)何，選擇正确的↓β(de)因子(zǐ)暴露是(shì)我們需要(yào)解決的(de)問(wèn)題。

從(cóng)“真香”的(de)角度來(lái)說(shuō)，γ₽似乎使用(yòng) firm characterist∑€¥¥ics 無可(kě)厚非；但(dàn)是(shì)從(cóng)真相(xi§σàng)的(de)角度來(lái)說(shuō)，我們還(hái₽↑)有(yǒu)很(hěn)長(cháng)的(de)路(lù)要₽↑(yào)走。

So, which beta?

參考文(wén)獻

Black, F., M. C. Jensen,£↓ and M. Scholes (1972). The capita♥β&≥l asset pricing model♠γ: Some empirical tests. I∏←ε↑n Studies in the Theory of Capit↑® al Markets. M. C. Jensen (ed), New York±&: Praeger, 79 – 121.

Fama, E. F. and K. R. Fre•↑nch (1993). Common risk ↑←★≥factors in the returns∞® on stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Fama, E. F. and K. R. French (1996).♦σ Multifactor explanations of aαγ∞≠sset pricing anomalies. Journal of Finance 51(1), 55 – 84.

Fama, E. F. and K. R. French (βΩ∑2015). A five-factor asset prici☆♣¶ng model. Journal of Financial Econ​©♦omics 116(1), 1 – 22.

Fama, E. F. and K. R. French (201♥≈÷9). Comparing Cross-Section and♠÷™ Time-Series Factor Mo₽✔∞δdels. Chicago Booth Research Paper No.↑€β 18-08; Fama-Miller Working Paper.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). σ'Risk, Return, and Equili×↓∞brium: Empirical Tests. Journal of Political Economy♦♥∑ 81(3), 607 – 636.

Hou, K., C. Xue, L. Zhangα§ (2015). Digesting anomalies: an in $₩σvestment approach. Review of Financial St®✔₽udies 28(3), 650 – 705.

Jegadeesh, N., J. Noh, K. Pukthua€®≠nthong, R. Roll, and J. Wang (2019).₽≥' Empirical tests of asset pricing mod φ™els with individual assets<→: Resolving the errors↑ε-in-variables bias in risk premium e♠≈♠stimation. Journal of Financial Economics 133(2), 273 – 298.

Lewellen, J., S. Nagel, a±✔♣nd J. Shanken (2010). A skeptical appra$ isal of asset pricing tests. ≥ ‌ Journal of Financial Economic↑₹‍∏s 96(2), 175 – 194.

Newey, W. K. and K. D. West (∞€↑1987). A simple, positive semi-defi™π$≥nite, heteroskedasticity and₹  autocorrelation consistent covarian✘Ωce matrix. Econometrica 55(3), 703 – 708.

Pukthuanthong, K., R. Roll, and ÷ΩA. Subrahmanyam (2019). A protocol forλ↔& factor identification. Review of Financial Studi₩↔♥es 32(4), 1573 – 1607.

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)險，投資需謹慎。在任何情況下ε✘ ₩(xià)，本文(wén)的(de)內(nèi)容、信息♥αλ及數(shù)據或所表述的(de)意見(j $iàn)并不(bù)構成對(duì)任何人(rén)的(de)投資建議(yì¶♠)。在任何情況下(xià)，本文(wén&↑≤)作(zuò)者及所屬機(jī)構不(b★φ§€ù)對(duì)任何人(rén)因使用(yòng) ₽本文(wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de)任何✔‌ 損失負任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外(wà♥σ♥i)，文(wén)中圖表均直接或間(jiān)接•‍來(lái)自(zì)于相(xiàng)應φ±↔↕論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yòng)，版權歸原‌ Ω 作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒu)。