沒有(yǒu) β、都(dōu)是(shì) α ?

作(zuò)者：石川

摘要(yào)：Not Really!

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金(jīn)融學會(huì)議(yì)的(de)每篇論>"γ文(wén)通(tōng)常都(dōu)有(yǒu)一(yī)個(gè)∞↑↑ discussant，負責對(duì)論文(wén)₽☆提出建設性意見(jiàn)。在金(jīn)融學頂會(huì)上¥↑$≤(shàng)，discussant 的(de)發言比原報(bào)告更加精彩‍↔的(de)情況也(yě)并不(bù)罕見(jiàn)。而如(r>♠ú)果當 discussant 是(shγγì) Bryan Kelly 時(shí)，上(shàn¶©g)述情形就(jiù)幾乎一(yī)定會(huì)出現(xiàn€✔λ)。近(jìn)日(rì)，Kelly 又(y←₩òu)“火(huǒ)力全開(kāi)”了(•©le)（對(duì)了(le)，我老(lǎo)早之前又(yòu∏∞♠$)被 Kelly 圈粉了(le)）。

在前不(bù)久的(de) NBER SI 2022 ←λ↓的(de) Asset Pricing Session 中，✘→αLopez-Lira and Roussano≠ &‌v (2022) 彙報(bào)了(le)一(yī)篇題®<''為(wèi) Do common factor♠εs really explain the cross-section of ★¶Ω‌stock returns? 的(de)文(wén)章(zhāng)。文 φβ©(wén)章(zhāng)的(de)結論非常↓$♥抓人(rén)眼球，他(tā)們拒絕了(le) APT：

他(tā)們是(shì)怎麽得(de)出這(zhè)樣的(de)結論呢(n↕✘e)？分(fēn)三步：

1. 從(cóng) APT 出發，解釋預期收益的φ‍‍‌(de)因子(zǐ)應該和(hé)資産收益率的(deφ✘∑) COV 矩陣有(yǒu)關，因此 Lopez-Lira and ÷φ✘☆Roussanov (2022) 使用(yòng)日(rì)收益率并¶∏£→通(tōng)過 PCA 構造了(le)隐性風(fēng)險因子(zǐε©÷)；

2. 該文(wén)進而基于大(dà)量公司特征©₹并使用(yòng) Random For×∞est 構造了(le) test assets；

3. 最後，該文(wén)利用(yòng) test assets   構造了(le)關于隐性因子(zǐ)中性（即無暴露）的(de)投資組合€≤Ω♦，獲得(de)了(le)顯著的(de)超額收益，因此他(☆₽♣λtā)們拒絕了(le) APT。

上(shàng)述邏輯似乎看(kàn)上(≈ ✔¥shàng)去(qù)沒有(yǒu)什(shén≤↑←×)麽毛病。而如(rú)果這(zhè)個(gè)結論成立，那(nà)就(£‌&jiù)意味著(zhe)“沒有(yǒu)  ，都(dōu)是(shì)  ”。有(yǒu)意思的(de)是(shì)♥±×，這(zhè)并不(bù)是(shì)兩位作(zuò)者第一(  §yī)次彙報(bào)這(zhè)項研究。然₽ ✔£而“不(bù)幸的(de)是(shì)”，這(zhè)回等待著(δ↑φ<zhe)他(tā)們的(de)是(shì) Bryan $βKelly。

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本節我們就(jiù)跟著(zhe) Kelly 的(de) ↓★slides 看(kàn)看(kàn)這(zhè)篇論文(wén)的(↔π©de)實證結果和(hé)結論到(dào)底有(yǒu)什(→‍shén)麽問(wèn)題。Kelly 首先↔₹用(yòng)三頁 slides 總結了(le)該文(wén)的(de)結果 ☆（如(rú)下(xià)）。這(zhè)部€​<∞分(fēn)沒啥可(kě)說(shuō)的β™γ≤(de)，我也(yě)不(bù)多(duō)做(zuò) c•≈ omment。

接下(xià)來(lái)就(jiù)是(shì)關鍵的(de)，Kel"​§ly 開(kāi)始討(tǎo)論該文(wén)的(de)結論。首先，他(t£αā)指出所有(yǒu)人(rén)（尤其✘£≤φ是(shì)研究資産定價的(de)人(rén‌$↓)）都(dōu)知(zhī)道(dào)，我們總能(néng)找到(∏Ωdào) benchmark model 無法解釋的($®βde) test assets 從(cóng)而拒絕 be¶§<¥nchmark model，所以這(zhè)并不(bù)新鮮。但(π∏±™dàn)是(shì)，拒絕 APT 這(zhè)個(gè)表述是(' φεshì)不(bù)準确的(de)，可(kě)以說₽•✔ (shuō)拒絕了(le)某個(gè)多(duō)因子(zǐ)φ♣模型，但(dàn)是(shì)不(bù)能(néλ←&↑ng)說(shuō)拒絕了(le) APT。此外←γ(wài)，在 Lopez-Lira and Rou¶‍ssanov (2022) 的(de)實證結果中，最令他(tā)擔✔≤"•憂的(de)并非 benchmark model 無法解釋 ∞←©test assets 的(de)預期收益率，而是(sh‌♣ì)通(tōng)過 PCA 構造的(de)這(zhè)個(gè)≤α↑☆ benchmark model 裡(lǐ)面的(de)因子(zǐ)的™>→✔(de) risk premium 全都(dōu)是(shì)±>零。

下(xià)表展示了(le) Lopez-Lira and Roussanov (202$"2) 中因子(zǐ)的(de) risk p×∞€remium。

在 Kelly 看(kàn)來(lái)，factor ri$☆ sk premium 都(dōu)是(shì)零（if true）才是(shì) real main result。可(k×↑δě)惜的(de)是(shì)，這(zhè)個(gè) if 要(yào)打一₩<(yī)個(gè)大(dà)大(dà)的(de)問(wèn)号'׶。之前大(dà)量的(de)實證結果已經•πλ↓表明(míng)，很(hěn)多(duō)能(néng)夠解Ω​©∏釋資産共同運動的(de)因子(zǐ)的(de) risk pre∞βmium 都(dōu)顯著不(bù)為(wèi)零。難道(dào)是♣♠♠(shì)那(nà)些(xiē)文(wén)章(zhā≈γng)錯(cuò)了(le)嗎(ma)？還(há↔©i)是(shì)這(zhè)篇文(wén)章≠✔>÷(zhāng)的(de) PCA 實證有(yǒu)什(shén)®×麽問(wèn)題？對(duì)此，Kelly 認為(wèi)該文(wén)的(επ de)因子(zǐ)存在 inconsistent conditioniβφng information 問(wèn)題（這(zhè)絕對(duì)是(shì) Kelly 這(®≤zhè)個(gè) discussion 的(d✔↕'e) WOW moment）。

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結合下(xià)面這(zhè)張 slide 來(lái)理(lǐ)解一δ×←(yī)下(xià) inconsistent conditioniΩ★∏ng。由資産定價理(lǐ)論可(kě)知(zhī)，資産的(d♦‍e)條件(jiàn)預期收益率由資産和(hé)Ω♣∑ SDF 的(de)條件(jiàn)協方差決定（下(xià)圖中的(de)公σλ​式）。而在 Lopez-Lira and Roussanov (202¥σσ2) 一(yī)文(wén)中，用(yòng)來(lái)預測預期收益>✘∏率（即構造 test assets）的(de) information "γset 是(shì)大(dà)量的(de)公司特征，反觀用(yòng)來(lδΩ♠ái)計(jì)算(suàn)隐性因子(zǐ)的(de)信息僅僅是(σ™shì)日(rì)收益率。這(zhè)就(jiù'<)是(shì)不(bù)一(yī)緻性所在。

單純利用(yòng)日(rì)收益率并通(tōng)過 PCσ&φA 來(lái)構造隐性因子(zǐ)，這(zhè)是(sh £γì)得(de)到(dào) factor§∞ risk premium 為(wèi)零這(zhè÷>≤)個(gè)錯(cuò)誤結論的(de)直接©§原因。具體(tǐ)而言，這(zhè)裡(lǐ)面存在兩個(gè)問('♦♥ wèn)題：（1）估計(jì)因子(zǐ)溢價時(shí)存在大(dà)量誤差；（γβ≥ 2）公司特征中涵蓋了(le)大(dà)量預測未來(lái)  （對(duì)，這(zhè)裡(lǐ)關注的(de)是(shì)  ，而不(bù)是(shì)預期收益率）的(de)©β©預測信息，如(rú)果僅僅使用(yòngλ∑β≤)日(rì)收益率則完全忽視(shì)了(le)它們。

關于第一(yī)點，感興趣的(de)小(xiǎo)夥伴可(kě)以找一∑★γ₽(yī)些(xiē) random matrix theor®δy（RMT）的(de)資料看(kàn)看(kàn)（比如(♦ ♣‍rú) Lettau and Pelger 2020）。&'↑簡單的(de)說(shuō)就(jiù)是(shì)基于日(rì♠<‍♦)收益率的(de) PCA 很(hěn)難準©≤‍÷确估計(jì)因子(zǐ)的(de) risk premiuπ•m。關于這(zhè)點，我做(zuò)過一(yī)個(gè)小(xiǎo™β↓α)實驗，在實驗中假設已知(zhī)收益率的(de) data₽γ generating process 并利用(yòng)樣本數(shù∞₹)據估計(jì) 30 個(gè)資産的(d±'™ e) COV 矩陣。由于 DGP 已知(zhī)，因此 popu×₽£ lation COV 矩陣已知(zhī)  ，這(zhè)允許我們計(jì)算(suàn)樣本 COV§©∏× 矩陣和(hé) population COV 矩陣的(de)誤差。實驗結♥♠ 果顯示，對(duì)于僅僅 30 個(gè)資産的(de) COV 矩陣的∞§©(de)估計(jì)，需要(yào)  這(zhè)個(gè)量級的(de) sample size 才能∑>×(néng)準确估計(jì)。

更關鍵的(de)是(shì)，上(shàng)面這(zhè)個☆≥α(gè)還(hái)僅僅是(shì) COV 矩陣的(↕‌Ωde)估計(jì)誤差，而非基于樣本 COV ☆★矩陣進行(xíng) PCA 分(fēn)析的(de)誤↕σ"®差。RMT 的(de)相(xiàng)關研究表δ​明(míng)，當 sample size 有(yǒu)限的(de)時(sh‍★í)候，基于樣本 COV 進行(xíng) PCA↓•&β 得(de)到(dào)的(de)特征向量和(hé)總體(tǐ↔★•)特征向量之間(jiān)的(de)夾角 ★&在 80 度以上(shàng)（幾乎垂直了(le)）。P •CA 了(le)個(gè)寂寞。

另外(wài)，Kelly 關于第一(yī)點的(de)討(tǎo)論也(yδ♥€&ě)讓我想起了(le) Bryzgalova, Huang,↔↑×' and Julliard (2020) 的(de) Bay± <esian estimator，而估計(jì)誤差¥★正是(shì)她(tā)們提出 Bayesi↑"≥♠an estimator 的(de)動機(jΩ↑>®ī)。感興趣的(de)小(xiǎo)夥伴•✘ 請(qǐng)參考《Bayesian Two-Pass Regression》。

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，Kelly, Mosko‍β♠"witz, and Pruitt (2021) 指出，公司特征能(néngλ₩&)夠有(yǒu)效預測未來(lái)的(♥π★®de)  ，因此僅僅基于日(rì)收益率會(huì)丢失掉大(dà)量的(de)±>信息。關于如(rú)何解決 inconsistent condition₽♥ing 問(wèn)題，Kelly 建議(yì)參考他(t​$ā)和(hé)合作(zuò)者提出的(de) IPCA 方法（Kelly≈€¶, Pruitt, and Su 2019）☆®≠。

最後，Kelly 對(duì)該文(wén)的(de)結論進行(x×↑<‍íng)了(le)總結。在他(tā)看(k​λ‌àn)來(lái)，聲稱拒絕了(le) APT 為(wèi)時(shí)尚∏α•早（且是(shì)錯(cuò)誤的(de)），而該♥∏文(wén)最大(dà)的(de)問(wèn)題 —— 正如(rú)上(≠∏shàng)面所述 —— 是(shì) risk fac≈σ↕tor 的(de) risk premium 為(wèiπ$)零。對(duì)于任何一(yī)篇實證資産定價研究來(lái)說(shuō)'££₩，這(zhè)樣的(de)結果應該是(shì)一(yī)個(gè)≈&≥ red flag，它表明(míng) latent fac✔γ÷♠tor estimator 并沒有(yǒu)想象§✘‍的(de)那(nà)麽美(měi)好(hǎo)。

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如(rú)果 Lopez-Lira and Roussanov (2022≤ε) 的(de)實證結果沒問(wèn)題，那(nàφ←≠∞)麽它意味著(zhe)人(rén)們可(kě)以找到(dào)并→σ★★利用(yòng)解釋預期收益而和(hé)資産波動無‌ 關的(de)因子(zǐ)，即“全是(shì)  ，沒有(yǒu)  ”，這(zhè)将和(hé) Kozak, Nagel, and Santosh (2018)¥δ ∑ 基于“市(shì)場(chǎng)中不(bù)存在近(jìn)似β€←無風(fēng)險套利機(jī)會(huì)”這(zhè)一✔☆(yī)假設得(de)出的(de)結論相(xi•☆>àng)左，也(yě)和(hé)過去(qù)幾☆φ十年(nián)大(dà)量的(de)實證結αΩ果相(xiàng)矛盾。

最後，Kelly 以“Extremely thought provoking ≥πpaper! I learned a lot.” 結束了(l♦✘®↑e)他(tā)的(de)討(tǎo)論。™☆≠&和(hé) Lopez-Lira and Rouss<£&↓anov (2022) 這(zhè)篇文<≥(wén)章(zhāng)相(xiàng)比，Kell≈↑✘Ωy 的(de)觀點無疑更加精彩，而大(dà)佬之間(jiān)思維的(dγ"'αe)碰撞和(hé)毫不(bù)敷衍的(de)深刻討(tǎo)論也☆‌≥≥(yě)正是(shì)推動金(jīn)融學發展的(de)驅動力。

Kelly rocks!

參考文(wén)獻

Bryzgalova, S., J. Huang, φπ∞and C. Julliard (2020). Bayesian α$ solutions for the factor zoo: &≠§₹We just run two quadrillion m¶<₩•odels. Working paper.

Kelly, T. B., T. J. Moskowitz, and S. §<±Pruitt (2021). Understanding momen≠™tum and reversal. Journal of Financial Economic₽↔s 140(3), 726 – 743.

Kelly, B. T., S. Pruitt, a±πnd Y. Su (2019). Characteristic→≈λ★s are covariances: A γ ↑§unified model of ris ₽↓"k and return. Journal of Financial Ec₹♥≤₽onomics 134(3), 501 – 524.

Kozak, S., S. Nagel, and S.α₹δ→ Santosh (2018). Interpreti≤≤↓πng factor models. Journal of Finance 73(3), 1183 – 1223.

Lopez-Lira, A. and N. Roussanov (2022₽ε→♠). Do common factors really ex< plain the cross-sect♣®ion of stock returns? ₩ Working paper.

Lettau, M. and M. Pelger (2020). Es​₹₹timating latent asset-pricing ✘™₩factors. Journal of Econometric♦£s 218(1), 1 – 31.

免責聲明(míng)：入市(shì)有(yǒu)風(fēng)××¥險，投資需謹慎。在任何情況下(xià)，本文(wén)的(d•α₽e)內(nèi)容、信息及數(shù)據或所表述的(de←↓‌)意見(jiàn)并不(bù)構成對(duì)任何人(rén)的∏∞(de)投資建議(yì)。在任何情況下('>xià)，本文(wén)作(zuò)者及所屬機(jī)構φ©♥ 不(bù)對(duì)任何人(rén)因使用(yòng)本文(→ε‍wén)的(de)任何內(nèi)容所引緻的(de)任$>★Ω何損失負任何責任。除特别說(shuō)明(míng)外(wài)，文(wφ≠αén)中圖表均直接或間(jiān)接來(lái)自(zì)于相(xiàn≠ε£g)應論文(wén)，僅為(wèi)介紹之用(yò★​ng)，版權歸原作(zuò)者和(hé)期刊所有(yǒu)。